给定整数 $n(n\geqslant 4)$，对任意满足 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}>0$ 的非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$，求 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2011第26届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
所求最大值为 $n-1$．
由齐次性，不妨假设 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=\sum_{i=1}^{n} b_{i}=1$．
首先，当 $a_{1}=1, a_{2}=a_{3}=\cdots=a_{n}=0,b_{1}=0, b_{2}=b_{3}=\cdots=b_{n}=\dfrac{1}{n-1}$ 时，有
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)=1,\sum_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)=\frac{1}{n-1}$
故 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}=n-1$
其次证明：对任意满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}=1$ 的 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$，都有
$\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)} \leqslant n-1$
由于分母是正数，故上式等价于 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right) \leqslant(n-1) \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)$
即 $\displaystyle (n-1) \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}^{2}+(n-2) \sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$
由对称性，不妨设 $b_1$ 是 $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 中最小的一个．则
$\displaystyle (n-1) \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}^{2}+(n-2) \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$
$\displaystyle \geqslant(n-1) b_{1}^{2}+(n-1) \sum\limits_{i=2}^{n} b_{i}^{2}+(n-2) \sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{1}$
$\displaystyle \geqslant(n-1) b_{1}^{2}+\left(\sum\limits_{i=2}^{n} b_{i}\right)^{2}+(n-2) b_{1}$
$=(n-1) b_{1}^{2}+\left(1-b_{1}\right)^{2}+(n-2) b_{1}$
$=n b_{1}^{2}+(n-4) b_{1}+1$
$\displaystyle \geqslant 1=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$
由齐次性，不妨假设 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=\sum_{i=1}^{n} b_{i}=1$．
首先，当 $a_{1}=1, a_{2}=a_{3}=\cdots=a_{n}=0,b_{1}=0, b_{2}=b_{3}=\cdots=b_{n}=\dfrac{1}{n-1}$ 时，有
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)=1,\sum_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)=\frac{1}{n-1}$
故 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}=n-1$
其次证明：对任意满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}=1$ 的 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$，都有
$\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)} \leqslant n-1$
由于分母是正数，故上式等价于 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right) \leqslant(n-1) \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)$
即 $\displaystyle (n-1) \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}^{2}+(n-2) \sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$
由对称性，不妨设 $b_1$ 是 $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 中最小的一个．则
$\displaystyle (n-1) \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}^{2}+(n-2) \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$
$\displaystyle \geqslant(n-1) b_{1}^{2}+(n-1) \sum\limits_{i=2}^{n} b_{i}^{2}+(n-2) \sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{1}$
$\displaystyle \geqslant(n-1) b_{1}^{2}+\left(\sum\limits_{i=2}^{n} b_{i}\right)^{2}+(n-2) b_{1}$
$=(n-1) b_{1}^{2}+\left(1-b_{1}\right)^{2}+(n-2) b_{1}$
$=n b_{1}^{2}+(n-4) b_{1}+1$
$\displaystyle \geqslant 1=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$
答案
解析
备注
