设 $A$ 是一个有限实数集，$A_1 ,A_2 , \cdots, A_n$ 是 $A$ 的非空子集，满足
（1）$A$ 中所有元素之和为 $0$；
（2）对任意 $x_{i} \in A_{i}(i=1,2, \cdots, n)$，都有 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}>0$．
证明：存在 $1 \leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k} \leqslant n$，使得 $\left|A_{i_{1}} \bigcup A_{i_{2}} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_{k}}\right|<\dfrac{k}{n}|A|$，其中，$|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数．
（1）$A$ 中所有元素之和为 $0$；
（2）对任意 $x_{i} \in A_{i}(i=1,2, \cdots, n)$，都有 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}>0$．
证明：存在 $1 \leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k} \leqslant n$，使得 $\left|A_{i_{1}} \bigcup A_{i_{2}} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_{k}}\right|<\dfrac{k}{n}|A|$，其中，$|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数．
【难度】
【出处】
2011第26届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}\right\}, a_{1}>a_{2}>\cdots>a_{m}$ 则由条件（1）知 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}=0$．
考虑每个 $A_i$ 中的最小数，并设 $A_{1}, A_{2},\cdots, A_{n}$ 中恰有 $k_i$ 个集合的最小数为 $a_{i}(i=1,2, \cdots, m )$．
于是，$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{m} k_{i}=n$ 且由条件（2）知 $\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{m} k_{j} a_{j}>0$
对 $s(1 \leqslant s \leqslant m-1)$，共有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{s} k_{i}$ 个集合，其最小数大于或等于 $a_s$，故这些集合的并集包含在 $\{a_1,\cdots,a_s\}$ 中，元素个数不超过 $s$．
接下来用反证法证明：存在 $s(1\leqslant s\leqslant m-1)$，使得 $\displaystyle k=\sum\limits_{i=1}^{s} k_{i}>\dfrac{s n}{m}$．
假设对于 $s(1\leqslant s\leqslant m-1)$，都有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{s} k_{i} \leqslant \dfrac{s n}{m}$．
由阿贝尔变换可知（注意 $a_{s}-a_{s+1}>0,1 \leqslant s \leqslant m-1$）
$\displaystyle 0<\sum\limits_{j=1}^{m} k_{j} a_{j}=\sum_{s=1}^{m-1}\left[\left(a_{s}-a_{s+1}\right) \sum_{i=1}^{s} k_{i}\right]+a_{m} \sum_{i=1}^{m} k_{i}\leqslant \sum_{s=1}^{m-1}\left(a_{s}-a_{s+1}\right) \dfrac{s n}{m}+a_{m} n=\dfrac{n}{m} \sum_{j=1}^{m} a_{j}=0$ 矛盾．
对于这一 $s$，取 $A_1 ,A_2,\cdots,A_n$ 中最小数大于或等于 $a_s$ 的那些集合，记为 $A_{i_1} , A_{i_2} , \cdots,A_{i_k}$．则由上述的结果可知，这些子集共有 $\displaystyle k=\sum\limits_{i=1}^{s} k_{i}>\dfrac{s n}{m}$ 个，且它们的并集的元素个数不超过 $s$，即 $\left|A_{i_{1}} \bigcup A_{i_{2}} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_{k}}\right| \leqslant s<\dfrac{k m}{n}=\dfrac{k}{n}|A|$．
考虑每个 $A_i$ 中的最小数，并设 $A_{1}, A_{2},\cdots, A_{n}$ 中恰有 $k_i$ 个集合的最小数为 $a_{i}(i=1,2, \cdots, m )$．
于是，$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{m} k_{i}=n$ 且由条件（2）知 $\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{m} k_{j} a_{j}>0$
对 $s(1 \leqslant s \leqslant m-1)$，共有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{s} k_{i}$ 个集合，其最小数大于或等于 $a_s$，故这些集合的并集包含在 $\{a_1,\cdots,a_s\}$ 中，元素个数不超过 $s$．
接下来用反证法证明：存在 $s(1\leqslant s\leqslant m-1)$，使得 $\displaystyle k=\sum\limits_{i=1}^{s} k_{i}>\dfrac{s n}{m}$．
假设对于 $s(1\leqslant s\leqslant m-1)$，都有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{s} k_{i} \leqslant \dfrac{s n}{m}$．
由阿贝尔变换可知（注意 $a_{s}-a_{s+1}>0,1 \leqslant s \leqslant m-1$）
$\displaystyle 0<\sum\limits_{j=1}^{m} k_{j} a_{j}=\sum_{s=1}^{m-1}\left[\left(a_{s}-a_{s+1}\right) \sum_{i=1}^{s} k_{i}\right]+a_{m} \sum_{i=1}^{m} k_{i}\leqslant \sum_{s=1}^{m-1}\left(a_{s}-a_{s+1}\right) \dfrac{s n}{m}+a_{m} n=\dfrac{n}{m} \sum_{j=1}^{m} a_{j}=0$ 矛盾．
对于这一 $s$，取 $A_1 ,A_2,\cdots,A_n$ 中最小数大于或等于 $a_s$ 的那些集合，记为 $A_{i_1} , A_{i_2} , \cdots,A_{i_k}$．则由上述的结果可知，这些子集共有 $\displaystyle k=\sum\limits_{i=1}^{s} k_{i}>\dfrac{s n}{m}$ 个，且它们的并集的元素个数不超过 $s$，即 $\left|A_{i_{1}} \bigcup A_{i_{2}} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_{k}}\right| \leqslant s<\dfrac{k m}{n}=\dfrac{k}{n}|A|$．
答案
解析
备注
