题目 证明： 问题1 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^nk\dbinom{n}{k}=n\cdot2^{n-1}$； 答案1 略 解析1 因为 $k\dbinom{n}{k}=n\dbinom{n-1}{k-1}$，所以<br/>$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^nk\dbinom{n}{k}=n\sum\limits_{k=1}^n\dbinom{n-1}{k-1}=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}=n\cdot2^{n-1}$ 备注1 问题2 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^nk^2\dbinom{n}{k}=n(n+1)2^{n-2}$． 答案2 略 解析2 因为 $k(k-1)\dbinom{n}{k}=n(n-1)\dbinom{n-2}{k-2}$，以及 $k^2=k(k-1)+k$，于是原式变形为．<br/>$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^nk(k-1)\dbinom{n}{k}+\sum\limits_{k=1}^nk\dbinom{n}{k}=\sum\limits_{k=2}^nn(n-1)\dbinom{n-2}{k-2}+n\cdot2^{n-1}=n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}\dbinom{n-2}{k}+n\cdot2^{n-1}\\<br/>=n(n-1)2^{n-2}+n\cdot2^{n-1}=n(n+1)2^{n-2}$． 备注2