设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geqslant 3)$ 是实数．证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1} \leqslant\left[\frac{n}{2}\right](M-m)^{2}$，其中，$a_{n+1}=a_{1}, M=\max\limits
_{1 \leqslant i \leqslant n} a_{i}, m=\min\limits
_{1 \leqslant i \leqslant n} a_{i},[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．
_{1 \leqslant i \leqslant n} a_{i}, m=\min\limits
_{1 \leqslant i \leqslant n} a_{i},[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2011第26届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
若 $n=2 k\left(k \in \mathbf{N}_{+}\right)$，则 $\displaystyle 2\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-a_{i+1}\right)^{2}\leqslant n(M-m)^{2}$
故 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1} \leqslant \dfrac{n}{2}(M-m)^{2}=\left[\dfrac{\boldsymbol{n}}{2}\right](M-m)^{2}$．
若 $n=2 k+1\left(k \in \mathbf{N}_{+}\right)$，则对于循环排列的 $2k+1$ 个数，必有连续三项递增或递减．
究其原因，由于 $\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{2 k+1}\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left(a_{i+1}-a_{i}\right)=\prod_{i=1}^{2 k+1}\left(a_{i}-a_{i-1}\right)^{2} \geqslant 0$
于是，不可能对于每一个 $i$，都有 $a_{i}-a_{i-1}$ 与 $a_{i+1}-a_{i}$ 异号
不妨设连续三项为 $a_1、a_2、a_3$．则有 $\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}+\left(a_{2}-a_{3}\right)^{2} \leqslant\left(a_{1}-a_{3}\right)^{2}$
故 $\displaystyle 2\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-a_{i+1}\right)^{2}\leqslant\left(a_{1}-a_{3}\right)^{2}+\sum_{i}^{n}\left(a_{i}-a_{i+1}\right)^{2}$
这就将问题转化为 $2k$ 个数的情形
于是，有 $\displaystyle 2\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1}\right)\leqslant\left(a_{1}-a_{3}\right)^{2}+\sum_{i=3}^{n}\left(a_{i}-a_{i+1}\right)^{2}\leqslant 2 k(M-m)^{2}$
即 $\displaystyle \left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1}\right) \leqslant k(M-m)^{2}=\left[\dfrac{n}{2}\right](M-m)^{2}$
故 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1} \leqslant \dfrac{n}{2}(M-m)^{2}=\left[\dfrac{\boldsymbol{n}}{2}\right](M-m)^{2}$．
若 $n=2 k+1\left(k \in \mathbf{N}_{+}\right)$，则对于循环排列的 $2k+1$ 个数，必有连续三项递增或递减．
究其原因，由于 $\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{2 k+1}\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left(a_{i+1}-a_{i}\right)=\prod_{i=1}^{2 k+1}\left(a_{i}-a_{i-1}\right)^{2} \geqslant 0$
于是，不可能对于每一个 $i$，都有 $a_{i}-a_{i-1}$ 与 $a_{i+1}-a_{i}$ 异号
不妨设连续三项为 $a_1、a_2、a_3$．则有 $\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}+\left(a_{2}-a_{3}\right)^{2} \leqslant\left(a_{1}-a_{3}\right)^{2}$
故 $\displaystyle 2\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-a_{i+1}\right)^{2}\leqslant\left(a_{1}-a_{3}\right)^{2}+\sum_{i}^{n}\left(a_{i}-a_{i+1}\right)^{2}$
这就将问题转化为 $2k$ 个数的情形
于是，有 $\displaystyle 2\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1}\right)\leqslant\left(a_{1}-a_{3}\right)^{2}+\sum_{i=3}^{n}\left(a_{i}-a_{i+1}\right)^{2}\leqslant 2 k(M-m)^{2}$
即 $\displaystyle \left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1}\right) \leqslant k(M-m)^{2}=\left[\dfrac{n}{2}\right](M-m)^{2}$
答案
解析
备注
