求所有正整数 $n$，使得存在正整数 $x$ 和 $y$，满足 $(x,y)=1$，且 $x^n+y^n$ 是 $(x+y)^4$ 的倍数．
【难度】
【出处】
2019北京大学中学生数学奖个人能力挑战赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
若 $n$ 为偶数，则 $x^{n}+y^{n} \equiv x^{n}+(-x)^{n} \equiv 2 x^{n}(\bmod x+y)$．
由 $(x+y)^{4} |\left(x^{n}+y^{n}\right)$ 可得 $(x+y) | 2 x^{n}$．因为 $(x, x+y)=(x, y)=1$，所以 $(x+y) | 2$．
只可能 $x=y=1$，但此时 $x^{n}+y^{n}=2$，不能被 $(x+y)^{4}=16$ 整除．
若 $n$ 为奇数，注意 $x+y \geqslant 3$，考虑 $x+y$ 的奇质因子 $P$．
由升幂定理，$V_{p}\left(x^{n}+y^{n}\right)=V_{p}(x+y)+V_{p}(n) \geqslant 4 V_{p}(x+y)$．
故 $V_{p}(n) \geqslant 3 V_{p}(x+y) \geqslant 3$．所以 $n=p^{3} q$，这里 $p$ 为奇质数，$q$ 为奇数．
反过来，若 $n=p^{3} q$，取 $x=1, \quad y=p-1$．
则 $x^{n}+y^{n}=1+(p-1)^{n} \equiv C_{n}^{1} p-C_{n}^{2} p^{2}+C_{n}^{3} p^{3}=p^{4} q+\dfrac{n-1}{2} \cdot p^{5} q+\dfrac{(n-1)(n-2)}{6} \cdot p^{6} q\equiv 0\left(\bmod p^{4}\right)$
故此时 $x,y$ 满足要求．
综上可知当且仅当 $n=p^3q$ 时满足要求，其中 $p$ 为奇质数，$q$ 为奇数．
由 $(x+y)^{4} |\left(x^{n}+y^{n}\right)$ 可得 $(x+y) | 2 x^{n}$．因为 $(x, x+y)=(x, y)=1$，所以 $(x+y) | 2$．
只可能 $x=y=1$，但此时 $x^{n}+y^{n}=2$，不能被 $(x+y)^{4}=16$ 整除．
若 $n$ 为奇数，注意 $x+y \geqslant 3$，考虑 $x+y$ 的奇质因子 $P$．
由升幂定理，$V_{p}\left(x^{n}+y^{n}\right)=V_{p}(x+y)+V_{p}(n) \geqslant 4 V_{p}(x+y)$．
故 $V_{p}(n) \geqslant 3 V_{p}(x+y) \geqslant 3$．所以 $n=p^{3} q$，这里 $p$ 为奇质数，$q$ 为奇数．
反过来，若 $n=p^{3} q$，取 $x=1, \quad y=p-1$．
则 $x^{n}+y^{n}=1+(p-1)^{n} \equiv C_{n}^{1} p-C_{n}^{2} p^{2}+C_{n}^{3} p^{3}=p^{4} q+\dfrac{n-1}{2} \cdot p^{5} q+\dfrac{(n-1)(n-2)}{6} \cdot p^{6} q\equiv 0\left(\bmod p^{4}\right)$
故此时 $x,y$ 满足要求．
综上可知当且仅当 $n=p^3q$ 时满足要求，其中 $p$ 为奇质数，$q$ 为奇数．
答案
解析
备注
