2005第20届CMO试题

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  二试组合部分

略

本题证明需要用到如下的常用结论，我们将其作为一个引理：矩形内的任意一个三角形的面积不大于矩形面积的一半．
在矩形 $ABCD$ 中，如果某三点构成的三角形的面积不大于 $\dfrac{1}{4}$ 就称它们为一个好的三点组，简称为“好组"．
记 $AB,CD,BC,AD$ 的中点分别为 $E,F,H,G$，线段 $EF$ 与 $CH$ 的交点记为 $O$．线段 $EF$ 和 $GH$ 将矩形 $ABCD$ 分为四个小矩形．从而一定存在一个小矩形，不妨设为 $AEOG$，其中（包括边界，下同）至少有所给 $5$ 个点中的 $2$ 个点，设点 $M$ 和 $N$ 在小矩形 $AEOG$ 中，如图所示．（1）如果矩形 $OHCF$ 中有不多于 $ 1$ 个已知点，考察不在矩形 $OHCF$ 中的任意一个 不同于 $M$ 和 $N$ 的已知点 $X$．易知，三点组 $(M,N,X)$ 或者在矩形 $ ABH G$ 中，或者在矩形 $ AEFD$ 中，由引理可知 $(M,N,X)$ 是好组．由于这样的点 $X$ 至少有两个，所以至少有两个好组．
（2）如果矩形 $OHCF$ 中至少有 $2$ 个已知点，不妨设已知点 $P$ 和 $Q$ 都在矩形 $OHCF$ 中，考察剩下来的最后一个已知点 $R$．如果 $R$ 在矩形 $OFDG$ 中，则三点组 $ (M,N,R)$ 在矩形 $ AEFD$ 中，而三点组 $(P,Q,R)$ 在矩形 $GHCD$ 中，从而它们都是好组，于是至少有两个好组．同理，如果点 $R$ 在矩形 $EBHO$ 中，亦至少有两个好组如果点 $R$ 在矩形 $OHCF$ 或矩形 $AEOG$ 中，设点 $R$ 在矩形 $OHCF$ 中，我们来考察 $5$ 个 点 $M,N,P,Q,R$ 的凸包，该凸包一定在凸六边形 $AEHCFG$ 中，如图所示而 $S_{AEHCFG}=1-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{4}$
下面再分三种情况讨论：
（i）如果 $M,N,P,Q,R$ 的凸包是凸五边形，不妨设其为 $MNPQR$，如图所示此时 $S_{MQR}+S_{MNQ}+S_{NPQ}\geqslant \dfrac{3}{4}$ 从而 $(M,Q, R ) , (M, N, Q ) , (N,P, Q )$ 中至少有一个为好组．又由于 $(P,Q,R)$ 在矩形 $OHCF$ 中，当然是好组，所以至少有两个好组．
（ii）如果 $M,N,P,Q,R$ 的凸包是凸四边形，不妨其设为 $A_1A_2A_3A_4$，而另一个已知点为 $A_5$，如图所示其中 $A_i\in \{M,N,P,Q,R\}(i = 1,2,3,4,5)$．联结 $A_5A_i(i = 1,2,3 ,4)$，则 ${{S}_{\vartriangle{{A}_{1}}{{A}_{\text{2}}}{{A}_{\text{5}}}}}\text{+}{{S}_{\vartriangle{{A}_{\text{2}}}{{A}_{\text{3}}}{{A}_{\text{5}}}}}\text{+}{{S}_{\vartriangle{{A}_{\text{3}}}{{A}_{\text{4}}}{{A}_{\text{5}}}}}\text{+}{{S}_{\vartriangle{{A}_{\text{4}}}{{A}_{\text{1}}}{{A}_{\text{5}}}}}\text{=}{{S}_{\vartriangle{{A}_{1}}{{A}_{\text{2}}}{{A}_{\text{3}}}{{A}_{\text{4}}}}}\leqslant \dfrac{\text{3}}{\text{4}}$
从而 $\left(A_{1}, A_{2}, A_{5}\right),\left(A_{2}, A_{3}, A_{5}\right),\left(A_{3}, A_{4}, A_{5}\right),\left(A_{1}, A_{4}, A_{5}\right)$ 中至少有两个好组．
（iii）若 $M,N,P,Q,R$ 的凸包是一个三角形，不妨设其为 $\triangle A_{1} A_{2} A_{3}$，另外两个已知点为 $A_4 ,A_5$，如图所示其中 $A_i\in\{M, N, P, Q, R\}(i=1,2,3,4,5)$．联结 $A_{4} A_{i}(i=1,2,3)$ 则 $S_{\triangle A_{1} A_{2} A_{4}}+S_{\Delta \Lambda_{2} A_{3} A_{4}}+S_{\triangle A_{1} A_{1} A_{4}}=S_{\triangle A_{1} A_{2} A_{3}} \leqslant \frac{3}{4}$
从而 $\left(A_{1}, A_{2}, A_{4}\right),\left(A_{2}, A_{3}, A_{4}\right),\left(A_{1}, A_{3}, A_{4}\right)$ 中至少有一个好组．同理，$A_5$ 也与 $A_1,A_2,A_3$ 中的某两个点构成好组，所以此时也至少有两个好组．
综上所述，不论何种情况，在 $5$ 个已知点中都至少有两个好组．
下面我们给出例子说明好组的数目可以只有两个．在矩形 $ABCD$ 的边 $AD$ 上取一点 $M$，在边 $AB$ 上取一点 $N$．使得 $AN:NB=AM:MD = 2 : 3$，如图所示则在 $M,N,B,C,D$ 这 $5$ 个点中恰好有两个好组．事实上，$(B,C,D)$ 显然不是好组．而如果三点组中恰含 $M,N$ 两点之一，不妨设含点 $M$，设 $AD$ 的中点为 $E$，那么 $S_{\triangle M B D}=S_{\Delta E B D}=\dfrac{1}{4}$，所以 $(M,B,D)$ 不是好组，并且 $S_{\triangle M B C}=\dfrac{1}{2}, S_{\Delta M C D}>S_{\Delta E C D}=\dfrac{1}{4}$
从而 $(M,B,C),(M,C,D)$ 都不是好组．如果三点组中同时含有 $M,N$ 两点，那么 $S_{\triangle M N C}=1-S_{\triangle N B C}-S_{\triangle M C D}-S_{\triangle A M N}=1-\dfrac{3}{5} S_{\Delta A B C}-\dfrac{3}{5} S_{\triangle A C D}-\dfrac{4}{25} S_{\Delta A B D}=1-\dfrac{3}{10}-\dfrac{3}{10}-\dfrac{2}{25}=\dfrac{8}{25}>\dfrac{1}{4}$
所以 $(M, N, C)$ 不是好组，而 $S_{\Delta M N B}=S_{\triangle M N D}=\dfrac{1}{5}<\dfrac{1}{4}$．从而其中恰好有两个好组 $(M,N,B)$ 和 $(M,N,D)$．
故面积不大于 $\dfrac{1}{4}$ 的三角形的个数的最小值是 $2$．