给定锐角 $\triangle P B C, P B \neq P C$．设 $A,D$ 分别是边 $PB,PC$ 上的点，联结 $ AC,BD$，相交于 $O$．过点 $O$ 分别作 $O E \perp A B, O F \perp CD$，垂足分别为 $ E,F$，线段 $BC,AD$ 的中点分别为 $ M,N$．
（1）若 $A,B,C,D$ 四点共圆，求证：$EM\cdot FN = EN\cdot FM$；
（2）若 $ EM\cdot FN = EN\cdot FM$，是否一定有 $ A,B,C,D$ 四点共圆？证明你的结论．
（1）若 $A,B,C,D$ 四点共圆，求证：$EM\cdot FN = EN\cdot FM$；
（2）若 $ EM\cdot FN = EN\cdot FM$，是否一定有 $ A,B,C,D$ 四点共圆？证明你的结论．
【难度】
【出处】
2009第24届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）设 $Q,R$ 分别是 $OB,OC$ 的中点，联结 $EQ,MQ,FR, MR$，
则 $E Q=\dfrac{1}{2} O B=R M, M Q=\dfrac{1}{2} O C=R F$
又 $OQMR$ 是平行四边形，所以 $\angle O Q M=\angle O R M$
由题设 $A,B,C,D$ 四点共圆，所以 $\angle A B D=\angle A C D$ 于是 $\angle E Q O=2 \angle A B D=2 \angle A C D=\angle F R O$
所以 $\angle E Q M=\angle E Q O+\angle O Q M=\angle F R O+\angle O R M=\angle F R M$
故 $\triangle E Q M \cong \triangle M R F$ 所以 $E M=F M$
同理可得 $E N=F N$ 所以 $E M \cdot F N=E N \cdot F M$
（2）答案是否定的
当 $AD \parallel BC$ 时，由于 $\angle B\ne\angle C$，所以 $A,B,C,D$ 四点不共圆，但此时仍然有 $EM\cdot FN= EN\cdot FM$，证明如下：
如图
设 $S,Q$ 分别是 $OA,OB$ 的中点，联结 $ES,EQ,MQ, NS$，
则 $N S=\dfrac{1}{2} O D, E Q=\frac{1}{2} O B$ 所以 $\dfrac{N S}{E Q}=\dfrac{O D}{O B}$ ①
又 $E S=\dfrac{1}{2} O A, M Q=\dfrac{1}{2} O C$，所以 $\dfrac{E S}{M Q}=\dfrac{O A}{O C}$ ②
而 $AD\parallel BC$ $\dfrac{O A}{O C}=\dfrac{O D}{O B}$ ③
由 ①②③ 得 $\dfrac{N S}{E Q}=\dfrac{E S}{M Q}$
因为
$ \angle N S E =\angle N S A+\angle A S E=\angle A O D+2 \angle A O E \angle E Q M= \\\angle M Q O+\angle O Q E=(\angle A O E+\angle E O B)+\left(180^{\circ}-2 \angle E O B\right)=\angle A O E+\left(180^{\circ}-\angle E O B\right)=\angle A O D+2 \angle A O E $
即 $\angle N S E=\angle E Q M$ 所以 $\triangle N S E \sim \triangle E Q M$
故 $\dfrac{E N}{E M}=\dfrac{S E}{Q M}=\dfrac{O A}{O C}$（由 ②）
同理可得 $\dfrac{F N}{F M}=\dfrac{O A}{O C}$ 所以 $\dfrac{E N}{E M}=\dfrac{F N}{F M}$
从而 $E M \cdot F N=E N \cdot F M$
则 $E Q=\dfrac{1}{2} O B=R M, M Q=\dfrac{1}{2} O C=R F$又 $OQMR$ 是平行四边形，所以 $\angle O Q M=\angle O R M$
由题设 $A,B,C,D$ 四点共圆，所以 $\angle A B D=\angle A C D$ 于是 $\angle E Q O=2 \angle A B D=2 \angle A C D=\angle F R O$
所以 $\angle E Q M=\angle E Q O+\angle O Q M=\angle F R O+\angle O R M=\angle F R M$
故 $\triangle E Q M \cong \triangle M R F$ 所以 $E M=F M$
同理可得 $E N=F N$ 所以 $E M \cdot F N=E N \cdot F M$
（2）答案是否定的
当 $AD \parallel BC$ 时，由于 $\angle B\ne\angle C$，所以 $A,B,C,D$ 四点不共圆，但此时仍然有 $EM\cdot FN= EN\cdot FM$，证明如下：
如图
设 $S,Q$ 分别是 $OA,OB$ 的中点，联结 $ES,EQ,MQ, NS$，则 $N S=\dfrac{1}{2} O D, E Q=\frac{1}{2} O B$ 所以 $\dfrac{N S}{E Q}=\dfrac{O D}{O B}$ ①
又 $E S=\dfrac{1}{2} O A, M Q=\dfrac{1}{2} O C$，所以 $\dfrac{E S}{M Q}=\dfrac{O A}{O C}$ ②
而 $AD\parallel BC$ $\dfrac{O A}{O C}=\dfrac{O D}{O B}$ ③
由 ①②③ 得 $\dfrac{N S}{E Q}=\dfrac{E S}{M Q}$
因为
$ \angle N S E =\angle N S A+\angle A S E=\angle A O D+2 \angle A O E \angle E Q M= \\\angle M Q O+\angle O Q E=(\angle A O E+\angle E O B)+\left(180^{\circ}-2 \angle E O B\right)=\angle A O E+\left(180^{\circ}-\angle E O B\right)=\angle A O D+2 \angle A O E $
即 $\angle N S E=\angle E Q M$ 所以 $\triangle N S E \sim \triangle E Q M$
故 $\dfrac{E N}{E M}=\dfrac{S E}{Q M}=\dfrac{O A}{O C}$（由 ②）
同理可得 $\dfrac{F N}{F M}=\dfrac{O A}{O C}$ 所以 $\dfrac{E N}{E M}=\dfrac{F N}{F M}$
从而 $E M \cdot F N=E N \cdot F M$
答案
解析
备注
