设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{1997}$ 满足如下两个条件：
（1）$-\frac{1}{\sqrt{3}} \leqslant x_{i} \leqslant \sqrt{3}(i=1,2, \cdots, 1997)$；
（2）$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{1997} =-318 \sqrt{3}$．
试求：$x_{1}^{12}+x_{2}^{12}+\cdots+x_{1997}^{12}$ 的最大值，并说明理由．
（1）$-\frac{1}{\sqrt{3}} \leqslant x_{i} \leqslant \sqrt{3}(i=1,2, \cdots, 1997)$；
（2）$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{1997} =-318 \sqrt{3}$．
试求：$x_{1}^{12}+x_{2}^{12}+\cdots+x_{1997}^{12}$ 的最大值，并说明理由．
【难度】
【出处】
1997第12届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
满足题设条件的任何一组 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{1997}$ 之中，若有这样的 $x_i$ 和 $x_j$ 满足 $\sqrt{3}>x_{i} \geqslant x_{j}>-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 则记 $m=\dfrac{1}{2}\left(x_{i}+x_{j}\right),h_{0}=\dfrac{1}{2}\left(x_{i}-x_{j}\right)=x_{i}-m=m-x_{j}$ 我们观察到 $\displaystyle (m+h)^{12}+(m-h)^{12}=2 \sum\limits_{0 \leqslant k=2 l \leqslant 12} C_{12}^{k} \cdot m^{12-k} \cdot h^{k}$ 随 $h > 0$ 的增大而增大．约定取 $h=\min \left\{\sqrt{3}-m, m-\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\right\}$ 并以 $x_{i}^{\prime}=m+h, x_{j}^{\prime}=m-h$ 代替 $x_i$ 和 $x_j$．则诸变元之和不改变，而诸变元值的 $12$ 次方之和增大．因此，所求的 $12$ 次方幕和的最大值只能由以下情形达到：至多只有一个变元取值于 $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right)$，其余变元取值都为 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 或 $\sqrt{3}$．设有 $u$ 个变元取值 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，$v$ 个变元取值 $\sqrt{3}$；$w$（$= 0$ 或 $1$）个变元取值于 $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right)$（若有，则将该值记为 $t$）．于是 $\left\{\begin{array}{l}{u+v+w=1997} \\ {-\dfrac{1}{\sqrt{3}} u+\sqrt{3} v+t w=-318 \sqrt{3}}\end{array}\right.$ 由此得到 $4 v+(\sqrt{3} t+1) w=1043$ 因为 $(\sqrt{3} t+1) w=1043-4 v$ 是整数，并且 $0 \leqslant(\sqrt{3} t+1) w<4$ 所以 $(\sqrt{3} t+1) w$ 是 $1043$ 除以 $4$ 的余数．据此求得 $v=260, t=\dfrac{2}{\sqrt{3}}, u=1736$ 据以上讨论，得到 $x_{1}^{12}+x_{2}^{12}+\cdots+x_{1}^{12}$ 的最大值 $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{12} u+(\sqrt{3})^{12} v+t^{12}=\dfrac{1736+4096}{729}+729 \times 260=8+189540=189548$
答案
解析
备注
