在一个非钝角 $\triangle ABC$ 中，$A B>A C, \angle B=45^{\circ}$，$O$ 和 $I$ 分别是 $\triangle ABC$ 的外心和内心，且 $\sqrt{2} O I=A B-A C$．求 $\sin A$．
【难度】
【出处】
1998第13届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由已知条件及欧拉公式得 $\left(\dfrac{c-b}{\sqrt{2}}\right)^{2}=O I^{2}=R^{2}-2 R r$ ① 再由熟知的儿何关系得
$\begin{aligned} r=& \dfrac{c+a-b}{2} \tan \dfrac{B}{2}=\dfrac{c+a-b}{2} \tan \dfrac{\pi}{8}= \dfrac{\sqrt{2}-1}{2}(c+a-b) \end{aligned}$ ②
由 ① 和 ② 及正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2 R$ 得 $1-2(\sin C-\sin B)^{2}=2(\sin A+\sin C-\sin B)(\sqrt{2}-1)$ 因为 $\angle B=\dfrac{\pi}{4}, \sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\sin C=\sin \left(\dfrac{3 \pi}{4}-\angle A\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin A+\cos A)$ 所以 $2 \sin A \cos A-(2-\sqrt{2}) \sin A,\sqrt{2} \cos A+\sqrt{2}-1=0,(\sqrt{2} \sin A-1)(\sqrt{2} \cos A-\sqrt{2}+1)=0$ 于是 $\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\cos A=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$，这时 $\begin{aligned} \sin A=& \sqrt{1-\cos ^{2} A}=\sqrt{1-\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}= \sqrt{\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}} \end{aligned}$ 总之，$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ 或 $ \sin A=\sqrt{\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}}$．（严格地说，还应验证这两个值都满足条件）
$\begin{aligned} r=& \dfrac{c+a-b}{2} \tan \dfrac{B}{2}=\dfrac{c+a-b}{2} \tan \dfrac{\pi}{8}= \dfrac{\sqrt{2}-1}{2}(c+a-b) \end{aligned}$ ②
由 ① 和 ② 及正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2 R$ 得 $1-2(\sin C-\sin B)^{2}=2(\sin A+\sin C-\sin B)(\sqrt{2}-1)$ 因为 $\angle B=\dfrac{\pi}{4}, \sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\sin C=\sin \left(\dfrac{3 \pi}{4}-\angle A\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin A+\cos A)$ 所以 $2 \sin A \cos A-(2-\sqrt{2}) \sin A,\sqrt{2} \cos A+\sqrt{2}-1=0,(\sqrt{2} \sin A-1)(\sqrt{2} \cos A-\sqrt{2}+1)=0$ 于是 $\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\cos A=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$，这时 $\begin{aligned} \sin A=& \sqrt{1-\cos ^{2} A}=\sqrt{1-\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}= \sqrt{\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}} \end{aligned}$ 总之，$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ 或 $ \sin A=\sqrt{\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}}$．（严格地说，还应验证这两个值都满足条件）
答案
解析
备注
