设 $m, n$ 是给定的整数，$4<m<n, A_{1} A_{2} \cdots A_{2 n+1}$ 是一个正 $2n+1$ 边形，$P=\left\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2 n+1}\right\}$．求顶点属于 $P$ 且恰有两个内角是锐角的凸 $m$ 边形的个数．
【难度】
【出处】
2009第24届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证一个引理：顶点在 $P$ 中的凸 $m$ 边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．
事实上，设这个凸 $m$ 边形为 $P_{1} P_{2} \cdots P_{m}$，只考虑至少有一个锐角的清况，此时不妨设 $\angle P_{m} P_{1} P_{2}<\frac{\pi}{2}$，则 $\angle P_{2} P_{j} P_{m}=\pi-\angle P_{2} P_{1} P_{m}>\dfrac{\pi}{2}, 3 \leqslant j \leqslant m-1$ 更有 $\angle P_{j-1} P_{j} P_{j+1}>\dfrac{\pi}{2}, 3 \leqslant j \leqslant m-1$
而 $\angle P_{1} P_{2} P_{3}+\angle P_{m-1} P_{m} P_{1}>\pi$，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理．
由引理知，若凸 $m$ 边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．
在凸 $m$ 边形中，设顶点 $A_i$ 与 $A_j$ 为 两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设 $A_i$ 与 $A_j$ 的劣弧上包含了 $P$ 的 $r$ 条边 $(1 \leqslant r \leqslant n)$，这样的 $(i,j)$ 在 $r$ 固定时恰有 $2n + 1$ 对．
（1）若凸 $m$ 边形的其余 $m-2$ 个顶点全在劣弧 $A_iA_j$ 上，而 $A_iA_j$，劣弧上有 $r - 1$ 个 $P$ 中的点，此时这 $m-2$ 个顶点的取法数为 $C_{r-1}^{m-2}$．
（2）若凸 $m$ 边形的其余 $m -2$ 个顶点全在优弧 $ A_iA-j$ 上，取 $A_i ,A_j$ 的对径点 $B_i , B_j$，由于凸 $m$ 边形在顶点 $A_i ,A_j$ 处的内角为锐角，所以，其余的 $m-2$ 个顶点全在劣弧 $B_iB_j$ 上，而劣弧 $B_iB_j$ 上恰有 $r$ 个 $P$ 中的点，此时这 $m-2$ 个顶点的取法数为 $C_{r}^{m-2}$．
所以，满足题设的凸 $m$ 边形的个数为
$\displaystyle (2 n+1) \sum\limits_{r=1}^{n}\left(C_{r-1}^{m-2}+C_{r}^{m-2}\right)=(2 n+1)\left(\sum_{r=1}^{n} C_{r-1}^{m-2}+\sum_{r=1}^{n} C_{r}^{m-2}\right)=\\(2 n+1)\left(\sum\limits_{r=1}^{n}\left(C_{r}^{m-1}-C_{r-1}^{m-1}\right)+\sum\limits_{r=1}^{n}\left(C_{r+1}^{m-1}-C_{r}^{m-1}\right)\right)=(2 n+1)\left(C_{n+1}^{m-1}+C_{n}^{m-1}\right)$
事实上，设这个凸 $m$ 边形为 $P_{1} P_{2} \cdots P_{m}$，只考虑至少有一个锐角的清况，此时不妨设 $\angle P_{m} P_{1} P_{2}<\frac{\pi}{2}$，则 $\angle P_{2} P_{j} P_{m}=\pi-\angle P_{2} P_{1} P_{m}>\dfrac{\pi}{2}, 3 \leqslant j \leqslant m-1$ 更有 $\angle P_{j-1} P_{j} P_{j+1}>\dfrac{\pi}{2}, 3 \leqslant j \leqslant m-1$
而 $\angle P_{1} P_{2} P_{3}+\angle P_{m-1} P_{m} P_{1}>\pi$，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理．
由引理知，若凸 $m$ 边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．
在凸 $m$ 边形中，设顶点 $A_i$ 与 $A_j$ 为 两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设 $A_i$ 与 $A_j$ 的劣弧上包含了 $P$ 的 $r$ 条边 $(1 \leqslant r \leqslant n)$，这样的 $(i,j)$ 在 $r$ 固定时恰有 $2n + 1$ 对．
（1）若凸 $m$ 边形的其余 $m-2$ 个顶点全在劣弧 $A_iA_j$ 上，而 $A_iA_j$，劣弧上有 $r - 1$ 个 $P$ 中的点，此时这 $m-2$ 个顶点的取法数为 $C_{r-1}^{m-2}$．
（2）若凸 $m$ 边形的其余 $m -2$ 个顶点全在优弧 $ A_iA-j$ 上，取 $A_i ,A_j$ 的对径点 $B_i , B_j$，由于凸 $m$ 边形在顶点 $A_i ,A_j$ 处的内角为锐角，所以，其余的 $m-2$ 个顶点全在劣弧 $B_iB_j$ 上，而劣弧 $B_iB_j$ 上恰有 $r$ 个 $P$ 中的点，此时这 $m-2$ 个顶点的取法数为 $C_{r}^{m-2}$．
所以，满足题设的凸 $m$ 边形的个数为
$\displaystyle (2 n+1) \sum\limits_{r=1}^{n}\left(C_{r-1}^{m-2}+C_{r}^{m-2}\right)=(2 n+1)\left(\sum_{r=1}^{n} C_{r-1}^{m-2}+\sum_{r=1}^{n} C_{r}^{m-2}\right)=\\(2 n+1)\left(\sum\limits_{r=1}^{n}\left(C_{r}^{m-1}-C_{r-1}^{m-1}\right)+\sum\limits_{r=1}^{n}\left(C_{r+1}^{m-1}-C_{r}^{m-1}\right)\right)=(2 n+1)\left(C_{n+1}^{m-1}+C_{n}^{m-1}\right)$
答案
解析
备注
