若函数 $f(x)=x^4+2x^3+4x^2+cx$ 的图象关于直线 $x=m$ 对称，求 $f(x)$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac {11}{16}$
【解析】
根据题意，函数 $f(x+m)$ 为偶函数．而\begin{eqnarray*}\begin{split} f(x+m)&=(x+m)^4+2(x+m)^3+4(x+m)^2+c(x+m)\\
&=x^4+\left(4m+2\right)x^3+\left(6m^2+6m+4\right)x^2+\\
&\qquad \qquad\left(4m^3+6m^2+8m+c\right)x+m^4+2m^3+4m^2+cm,\end{split} \end{eqnarray*}于是$$\begin{cases} 4m+2=0,\\ 4m^3+6m^2+8m+c=0,\end{cases}$$解得 $m=-\dfrac 12$，$c=3$．于是$$f\left(x-\dfrac 12\right )=x^4+\dfrac 52x^2-\dfrac{11}{16},$$其最小值为 $-\dfrac{11}{16}$，当 $x=0$ 时取得．因此 $f(x)$ 的最小值为 $-\dfrac{11}{16}$．
&=x^4+\left(4m+2\right)x^3+\left(6m^2+6m+4\right)x^2+\\
&\qquad \qquad\left(4m^3+6m^2+8m+c\right)x+m^4+2m^3+4m^2+cm,\end{split} \end{eqnarray*}于是$$\begin{cases} 4m+2=0,\\ 4m^3+6m^2+8m+c=0,\end{cases}$$解得 $m=-\dfrac 12$，$c=3$．于是$$f\left(x-\dfrac 12\right )=x^4+\dfrac 52x^2-\dfrac{11}{16},$$其最小值为 $-\dfrac{11}{16}$，当 $x=0$ 时取得．因此 $f(x)$ 的最小值为 $-\dfrac{11}{16}$．
答案
解析
备注
