已知 $f(x)=\sin x+2\cos x$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当 $x>0$ 时，求证：$f(x)>2+x-x^2-\dfrac 16x^3$；标注答案略解析设函数\[h(x)=\sin x+2\cos x+\dfrac 16x^3+x^2-x-2,\]则\[\begin{split}
h'(x)&=\cos x-2\sin x+\dfrac 12x^2+2x-1,\\
h''(x)&=-\sin x-2\cos x+x+2,\end{split}\]我们熟知当 $x>0$ 时，有\[x>\sin x,\]于是当 $x>0$ 时，有\[h''(x)=(x-\sin x)+2(1-\cos x)>0,\]结合\[h'(0)=h(0)=0,\]于是在 $(0,+\infty)$ 上，有\[h(x)>0,\]原命题得证． -
设函数 $g(x)=\ln [f(x)-2ax-a\pi +2]$ 的定义域为 $D$，且当 $x\in D\cap\left(-\dfrac{\pi}2,+\infty\right)$ 时，不等式 $g(x)<2ax+a\pi$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．标注答案$\left[\dfrac 12,+\infty\right)$解析设 $\varphi(x)=2ax+a\pi -g(x)$，分析端点，有\[\begin{array}{c|c}\hline
&x=-\dfrac{\pi}2\\ \hline
\varphi(x)=2a\left(x+\dfrac{\pi}2\right)-\ln\left[\sin x+2\cos x-2a\left(x+\dfrac{\pi}2\right)+2\right]& 0 \\ \hline
\varphi'(x)=2a-\dfrac{\cos x-2\sin x-2a}{\sin x+2\cos x-2a\left(x+\dfrac{\pi}2\right)+2}&4a-2\\ \hline
\end{array}\]于是讨论分界点为 $a=\dfrac 12$．情形一 $a\geqslant \dfrac 12$．此时考虑函数\[h(x)=\sin x+2\cos x-2a\left(x+\dfrac{\pi}2\right)+2,\]该函数在 $\left(-\dfrac{\pi}2,+\infty\right)$ 上有且仅有一个零点，设为 $m_a$．因此\[D\cap\left(-\dfrac{\pi}2,+\infty\right)=\left(-\dfrac{\pi}2,m\right).\]将 $\varphi(x)$ 的解析式看成是关于 $a$ 的函数，则该函数单调递增，接下来证明当 $a=\dfrac 12$ 时，有\[\forall x\in \left(-\dfrac{\pi}2,m\right),\varphi(x)>0.\]此时\[\varphi'(x)=\dfrac{\cos x+3\sin x-x-\dfrac{\pi}2+3}{\sin x+2\cos x-x-\dfrac{\pi}2+2},\]且 $m_a<\pi$，设\[\mu(x)=\cos x+3\sin x-x-\dfrac{\pi}2+3,\]则\[\mu(x)=\left(\sin x+2\cos x-x-\dfrac{\pi}2+2\right)+\left(2\sin x-\cos x+1\right)>0,\]于是 $\varphi(x)$ 单调递增，结合 $\varphi\left(-\dfrac{\pi}2\right)=0$，命题得证．
因此当 $a\geqslant\dfrac 12$ 时符合题意．情形二 $0< a<\dfrac 12$．此时\[\varphi'(x)=\dfrac{-4\left(x+\dfrac{\pi}2\right)a^2+(2a+2)\sin x+(4a-1)\cos x+6a}{\sin x+2\cos x-x-\dfrac{\pi}2+2},\]设分子为 $M$，则当\[-\dfrac{\pi}2<x<\min\left\{-\arcsin\dfrac{4a+1}{2a+2},\arccos\dfrac{6a-3}{2a+2}-\pi\right\}\]时，有\[\begin{split} M&<(2a+2)\sin x+(4a-1)\cos x+6a\\
&=(2a+2)\left(\sin x+\dfrac{6a}{2a+2}+\dfrac{4a-1}{2a+2}\cos x\right)\\
&<(2a+2)\left(\sin x+\dfrac{6a}{2a+2}+\dfrac 13\cos x\right)\\
&=(2a+2)\left(\sin x+\dfrac{4a+1}{2a+2}+\dfrac 13\cos x+\dfrac{2a-1}{2a+2}\right)\\
&<0,\end{split}\]结合 $\varphi\left(-\dfrac{\pi}2\right)=0$ 可知不符合题意．情形三 $a\leqslant 0$．此时\[\varphi(0)=a\pi -\ln (4-a\pi)<0,\]不符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
