已知函数 $f(x)=\sin x+\tan x$，项数为 $2m+1$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，且公差 $d\ne 0$，若 $f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2m+1})=0$，求证：$a_{m+1}=0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于函数 $f(x)$ 是单调递增的奇函数，因此有\[{\rm sgn}(a+b)={\rm sgn}\left(f(a)+f(b)\right),\]其中\[{\rm sgn}(x)=\begin{cases}1,&x>0,\\ 0,&x=0,\\ -1,&x<0.\end{cases}\]由等差数列的性质，有\[a_1+a_{2m+1}=a_2+a_{2m}=\cdots=2a_{m+1},\]于是\[{\rm sgn}(a_1+a_{2m+1})={\rm sgn}(a_2+a_{2m})=\cdots={\rm sgn}(a_{m+1}),\]因此\[{\rm sgn}(f(a_1)+f(a_{2m+1}))={\rm sgn}(f(a_2)+f(a_{2m}))=\cdots={\rm sgn}(f(a_{m+1})),\]进而\[{\rm sgn}\left(f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2m+1})\right)={\rm sgn}(f(a_{m+1})),\]这是一个比原命题更强的命题．
因此$${\rm sgn}[f(a_{m+1})]=0,$$故 $a_{m+1}=0$．
因此$${\rm sgn}[f(a_{m+1})]=0,$$故 $a_{m+1}=0$．
答案
解析
备注
