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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21759 59477509a26d280009c98c6c 高中 解答题 高中习题 无穷数列 $P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$ 满足 $a_i\in\mathbb N^{\ast}$，且 $a_i\leqslant a_{i+1}$（$i\in\mathbb N^{\ast}$）．对于数列 $P$，记 $T_k(P)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）表示集合 $\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}$ 中最小的数． 2022-04-17 20:57:11
21756 590ad9fd6cddca00078f39db 高中 解答题 高中习题 无穷数列 $P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$ 满足 $a_i\in\mathbb N^{\ast}$，且 $a_i\leqslant a_{i+1}$（$i\in\mathbb N^{\ast}$）．对于数列 $P$，记 $T_k(P)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）表示集合 $\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}$ 中最小的数． 2022-04-17 20:55:11
21701 5a4dec16c0972c000bdd25e0 高中 解答题 自招竞赛 $7$ 个人参加 $n$ 个小组，每个小组 $3$ 人，每两个小组最多共用 $1$ 人，求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 20:23:11
21509 5a694952fab5d70008dc26b0 高中 解答题 高中习题 $n$ 个白球和 $n+1$ 个黑球任意排成一列．证明：无论如何排列，都至少存在一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球个数相等（可以为 $0$）． 2022-04-17 20:40:09
21508 5a694d8efab5d70007676b66 高中 解答题 高中习题 $n$ 个白球和 $n+1$ 个黑球任意排成一列．证明：无论如何排列，都至少存在一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球个数相等（可以为 $0$）． 2022-04-17 20:39:09
21506 5912beb0e020e70007fbeeb0 高中 解答题 自招竞赛 $2008$ 个白球和 $2009$ 个黑球任意排成一列．证明：无论如何排列，都至少存在一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球个数相等（可以为 $0$）． 2022-04-17 20:38:09
21339 59278c6774a309000813f675 高中 解答题 高考真题 若 ${A_1},{A_2}, \cdots ,{A_m}$ 为集合 $A = \left\{ {1,2, \cdots ,n} \right\}$（$n \geqslant 2$ 且 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$）的子集，且满足两个条件：① ${A_1} \cup {A_2} \cup \cdots \cup {A_m} = A$；② 对任意的 $\left\{ {x,y} \right\} \subseteq A$，至少存在一个 $i \in \left\{ {1,2,3, \cdots ,m} \right\}$，使 ${A_i} \cap \left\{ {x,y} \right\} = \left\{ x \right\}$ 或 $\left\{ y \right\}$，则称集合组 ${A_1},{A_2}, \cdots ,{A_m}$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 20:05:08
21338 5966f1de030398000abf1531 高中 解答题 自招竞赛 试确定，有多少种不同的方法将集合 $M=\{1,2,3,4,5\}$ 中的元素归入 $A,B,C$ 三个（有序）集合，使得满足：每个元素至少含于其中一个集合之中，这三个集合的交集是空集，而其中任两个集合的交都不是空集？（即 $A\cup B\cup C=M$，$A\cap B\cap C=\varnothing$，而 $A\cap B\ne \varnothing$，$B\cap C\ne\varnothing$，$C\cap A\ne\varnothing$） 2022-04-17 20:04:08
21337 59579c78d3b4f9000ad5e9c0 高中 解答题 高中习题 将一堆小球（数量不小于 $2$）分为两堆，记录两堆所包含的小球数之积，将这种操作称为“分堆”，将得到的积称为“分堆积”．将一堆包含 $n$ 个小球的小球进行一次“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_1$；从得到的两堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_2$；再从得到的三堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_3$；依次进行下去，直到最后得到 $n$ 堆小球（每堆的小球数量均为 $1$）为止．设$$S(n)=p_1+p_2+\cdots +p_{n-1},$$证明：$S(n)$ 是一个与分堆的具体过程无关的定值． 2022-04-17 20:03:08
21335 59687a6022d140000ac07ede 高中 解答题 自招竞赛 已知集合 $P$ 是由不超过 $2012$ 的正整数组成的集合，即 $P=\{1,2,3,\cdots,2012\}$．集合 $A$ 是集合 $P$ 的子集，符号 $|A|$ 表示集合 $A$ 中元素的个数，$S(A)$ 表示集合 $A$ 中所有元素的和． 2022-04-17 20:03:08
21121 5c6a3ede210b281db9f4c719 高中 解答题 自招竞赛 玛丽在美国中学数学竞赛中得分在80分以上（这次测验有30个选择题，计分的公式是 $S=30+4C-W$，其中 $S$ 为分数，$C$ 是答对题数，$W$ 是答错的题数，允许不答）．她把自己的分数告诉了约翰，约翰能正确地推算出玛丽解答了几道题．如果玛丽的得分少一点，但还在80分以上，约翰就无法推算了．玛丽得了多少分？ 2022-04-17 20:05:06
21115 5c6a44fa210b281dbaa93392 高中 解答题 自招竞赛 某种竞赛中，每一个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者得1分，输者得0分，如果平局，各得0．5分．竞赛结束后，发现每一个选手所得的分数中恰好有一半是在他同十位得分最低的选手的对局中得到的（10位得何如最低的选手所得的分数中一半是在他们彼此对局中得到的），求参加竞赛的选手总数． 2022-04-17 20:02:06
20999 5c6e14cc210b281db9f4ca0a 高中 解答题 自招竞赛 设 $n={{2}^{31}}{{3}^{19}}$，那么 ${{n}^{2}}$ 的小于 $n$ 但不整除 $n$ 为正整数因数有多少？ 2022-04-17 20:54:04
20903 5c6f9684210b28015052746e 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 为空间中坐标 $x$，$y$，$z$ 都是整数且满足 $0\leqslant x\leqslant 2$，$0\leqslant y\leqslant 3$，$0\leqslant z\leqslant 4$ 的所有点组成的点集．从 $S$ 中随机抽取两个不同点，设二者的中点仍在 $S$ 中的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:04:04
20794 5c74ddec210b284290fc23c1 高中 解答题 自招竞赛 有一个点在直角坐标平面上按照以下规则从一个格点移动到另一个格点：
（1）从任意一个格点 $\left( a b \right)$，一步只能移动到 $\left( a +1 b \right)$，$\left( a b+1 \right)$ 或 $\left( a+1 b+1 \right)$；
（2）移动的路径不能有直角的转弯，即移动路径中不能含有 $\left( a b \right)\to \left( a+1 b \right)\to \left( a+1 b+1 \right)$ 或 $\left( a b \right)\to \left( a b+1 \right)\to \left( a+1 b+1 \right)$ 这样的小段路径。问：从 $\left( 0 0 \right)$ 到 $\left( 5 5 \right)$ 一共有多少条不同的移动路径？		 2022-04-17 20:05:03
20647 59279fbb74a309000997fc37 高中 解答题 高考真题 对于各项均为正数且各有 $m$ 项的数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，按如下方法定义数列 $\{t_{n}\}:t_{0}=0$，$t_{n}=\begin{cases}t_{n-1}-a_{n}+b_{n},t_{n-1}\geqslant a_{n}\\ b_{n},t_{n-1}<a_{n}\end{cases},(n=1,2,\cdots,m)$，并规定数列 $\{a_{n}\}$ 到 $\{b_{n}\}$ 的“并和”为 $S_{ab}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}+t_{m}$． 2022-04-17 20:42:01
20646 5927a1ee74a309000798ce00 高中 解答题 高考真题 设 $m>3$，对于有穷数列 $\{a_{n}\}(n=1,2,\cdots,m)$，令 $b_{k}$ 为 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ 中的最大值，称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“创新数列”，数列 $\{b_{n}\}$ 中不相等项的个数称为 $\{a_{n}\}$ 的“创新阶数”．例如数列 $2,1,3,7,5$ 的创新数列为 $2,2,3,7,7$，创新阶数为 $3$．
考查自然数 $1,2,\cdots,m(m>3)$ 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列 $\{c_{n}\}$．		 2022-04-17 20:41:01
20457 5c987bc4210b280b2397e89c 高中 解答题 自招竞赛 在坐标网格中，以每个格点为中心各有一个半径 $\frac{1}{10}$ 的圆和一个边长 $\frac{1}{5}$ 的正方形（各边平行于坐标轴）。端点为 $\left( 0\text{,}0 \right)\text{,}\left( 1001\text{,}429 \right)$ 的线段穿过了 $m$ 个正方形和 $n$ 个圆。求 $m+n$ 2022-04-17 19:58:59
20426 5c99ef78210b280b2256c01d 高中 解答题 自招竞赛 $10\times 10\times 10$ 的格点网络包含了所有空间坐标系中形如 $\left( i\text{,}j\text{,}k \right)\left( 1\leqslant i\text{,}j\text{,}k\leqslant 10 \right)$ 的点。求恰好包含其中 $8$ 个点的直线的个数 2022-04-17 19:41:59
20412 5c9c2cc5210b280b2397ea02 高中 解答题 自招竞赛 一只青蛙从七边形 $S{{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}E{{P}_{4}}{{P}_{5}}$ 的顶点 $S$ 出发。对七边形除了 $E$ 之外的每个顶点，青蛙每步都可以向其任一相邻顶点跳。当到达 $E$ 时，青蛙便停在原地。求满足条件的不同的跳跃序列数，使得青蛙不超过 $12$ 步到达点 $E$ 2022-04-17 19:34:59
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