$2008$ 个白球和 $2009$ 个黑球任意排成一列．证明：无论如何排列，都至少存在一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球个数相等（可以为 $0$）．
【难度】
【出处】
2009年中国科学技术大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $f(k)$ 为第 $k$ 个黑球左侧（不包括它自己）的黑球数 $x_k$ 和白球数 $y_k$ 之差，即\[f(k)=x_k-y_k,k=1,2,\cdots,2009.\]情形一 $f(1)=0$，则第一个球为黑球即符合题意，命题成立．
情形二 $f(1)\ne 0$，则第一个球为白球，此时 $f(1)\leqslant -1$，又 $f(n+1)\geqslant 0$，而\[|f(k+1)-f(k)|=1,\]于是必然存在 $2\leqslant m\leqslant 2009$，$m\in\mathbb Z$，使得\[f(m)=0,\]因此命题成立．
答案
解析
备注
