某种竞赛中，每一个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者得1分，输者得0分，如果平局，各得0．5分．竞赛结束后，发现每一个选手所得的分数中恰好有一半是在他同十位得分最低的选手的对局中得到的（10位得何如最低的选手所得的分数中一半是在他们彼此对局中得到的），求参加竞赛的选手总数．
【难度】
【出处】
1985年第3届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
25
【解析】
设共有 $n$ 个选手参加竞赛，我们来求出两个与 $n$ 有关的式子：一是各选手得分的总和，另一是分别计算“败者”（姑且这样称呼十名得分最低的选手）及“胜者”（姑且这样称呼其余 $n-10$ 名选手）得分的总和．我们要注意，$k$ 个选手互相比赛，总共应赛 $\frac{k\left(k-1 \right)}{2}$ 局，按记分规则，他们得分的总和是 $\frac{k\left( k-1 \right)}{2}$ 分．
由此可知，$n$ 个选手共得了 $\frac{n\left(n-1 \right)}{2}$ 分，而10位“败者”通过彼此之间的对局共得了 $10\times \frac{9}{2}=45$ 分．因为这是他们得的分数的一半，所以他们共得90分．其余 $n-10$ 个选手在他们彼此的对局中共得 $\frac{\left( n-10 \right)\left( n-11 \right)}{2}$ 分，这也是他们得分的一半，所以他们共得 $\left( n-10 \right)\left( n-11 \right)$ 分，于是得到方程 $\frac{n\left(n-1 \right)}{2}=90+\left( n-10 \right)\left( n-11 \right)$．
它等价于 ${{n}^{2}}-41n+400=0$，即 $\left(n-16 \right)\left( n-25 \right)=0$．
解得 ${{n}_{1}}=25$，${{n}_{2}}=16$．经检验 ${{n}_{2}}=16$ 应舍去．
因为如果只有16位选手，那么就只有6位“胜者”，他们得分总数是30，平均每人得5分，显然小于“败者”的平均分 $\frac{90}{10}=9$．因此，$n=25$，竞赛中共参加了25名选手．
$n=25$ 的例子如下：
将25人分为 $A$，$B$ 两组，$A$ 组15人，$B$ 组10人（即解答中的胜者及败者），同组内的比赛均为平局，$A$ 组每人胜 $B$ 组中的4人，平 $B$ 组中的 $6$ 人，$B$ 组每人平 $A$ 组中的9人，负 $A$ 组中的 $6$ 人．由于 $15\times4=10\times 6$，这可以做到．
由此可知，$n$ 个选手共得了 $\frac{n\left(n-1 \right)}{2}$ 分，而10位“败者”通过彼此之间的对局共得了 $10\times \frac{9}{2}=45$ 分．因为这是他们得的分数的一半，所以他们共得90分．其余 $n-10$ 个选手在他们彼此的对局中共得 $\frac{\left( n-10 \right)\left( n-11 \right)}{2}$ 分，这也是他们得分的一半，所以他们共得 $\left( n-10 \right)\left( n-11 \right)$ 分，于是得到方程 $\frac{n\left(n-1 \right)}{2}=90+\left( n-10 \right)\left( n-11 \right)$．
它等价于 ${{n}^{2}}-41n+400=0$，即 $\left(n-16 \right)\left( n-25 \right)=0$．
解得 ${{n}_{1}}=25$，${{n}_{2}}=16$．经检验 ${{n}_{2}}=16$ 应舍去．
因为如果只有16位选手，那么就只有6位“胜者”，他们得分总数是30，平均每人得5分，显然小于“败者”的平均分 $\frac{90}{10}=9$．因此，$n=25$，竞赛中共参加了25名选手．
$n=25$ 的例子如下：
将25人分为 $A$，$B$ 两组，$A$ 组15人，$B$ 组10人（即解答中的胜者及败者），同组内的比赛均为平局，$A$ 组每人胜 $B$ 组中的4人，平 $B$ 组中的 $6$ 人，$B$ 组每人平 $A$ 组中的9人，负 $A$ 组中的 $6$ 人．由于 $15\times4=10\times 6$，这可以做到．
答案
解析
备注
