无穷数列 $P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$ 满足 $a_i\in\mathbb N^{\ast}$，且 $a_i\leqslant a_{i+1}$（$i\in\mathbb N^{\ast}$）．对于数列 $P$，记 $T_k(P)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）表示集合 $\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}$ 中最小的数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若数列 $P:1,3,4,7,\cdots$，写出 $T_1(P),T_2(P),\cdots,T_5(P)$；标注答案$1,2,2,3,4$解析由题意可直接写出，依次为 $1,2,2,3,4$．
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若 $T_k(P)=2k-1$，求数列 $P$ 的前 $n$ 项和；标注答案$\left[\dfrac {(n+1)^{2}}{4}\right]$解析数列 $P$：$1,1,2,2,3,3,\cdots$，所以数列 $P$ 的前 $n$ 项和为 $\left[\dfrac {(n+1)^{2}}{4}\right]$；
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已知 $a_{20}=46$，求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{20}{a_i}+\sum\limits_{j=1}^{46}{T_j(P)}$ 的值．标注答案$ 966 $解析设数列 $P:a_{1},a_2,\cdots,a_{20}$ 中有 $m_i$ 个 $i$，其中 $i=1,2,\cdots,46$，则$$\sum_{i=1}^{46}{m_i}=20,\quad\sum_{i=1}^{46}{\left(im_i\right)}=a_1+a_2+\cdots+a_{20}.$$于是\[\begin{split}&\quad a_1+a_2+\cdots+a_{20}+T_1(P)+T_2(P)+\cdots+T_{46}(P)\\&=\left(a_1+a_2+\cdots+a_{20}\right)+1+\left(m_1+1\right)+\cdots+\left(m_1+m_2+\cdots+m_{45}+1\right)\\&=\sum_{i=1}^{46}{im_i}+46+45m_1+44m_2+\cdots+2m_{44}+m_{45}\\&=\sum_{i=1}^{46}{\left[\left(i+46-i\right)m_i\right]}+46\\&=46\sum_{i=1}^{46}{m_i}+46\\&=46\times {20}+46\\&=966.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
