有一个点在直角坐标平面上按照以下规则从一个格点移动到另一个格点：
（1）从任意一个格点 $\left( a b \right)$，一步只能移动到 $\left( a +1 b \right)$，$\left( a b+1 \right)$ 或 $\left( a+1 b+1 \right)$；
（2）移动的路径不能有直角的转弯，即移动路径中不能含有 $\left( a b \right)\to \left( a+1 b \right)\to \left( a+1 b+1 \right)$ 或 $\left( a b \right)\to \left( a b+1 \right)\to \left( a+1 b+1 \right)$ 这样的小段路径。问：从 $\left( 0 0 \right)$ 到 $\left( 5 5 \right)$ 一共有多少条不同的移动路径？
（1）从任意一个格点 $\left( a b \right)$，一步只能移动到 $\left( a +1 b \right)$，$\left( a b+1 \right)$ 或 $\left( a+1 b+1 \right)$；
（2）移动的路径不能有直角的转弯，即移动路径中不能含有 $\left( a b \right)\to \left( a+1 b \right)\to \left( a+1 b+1 \right)$ 或 $\left( a b \right)\to \left( a b+1 \right)\to \left( a+1 b+1 \right)$ 这样的小段路径。问：从 $\left( 0 0 \right)$ 到 $\left( 5 5 \right)$ 一共有多少条不同的移动路径？
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
83
【解析】
动点从 $\left( a b \right)$ 开始移动一步，有3种可能，用 $X$ 表示从 $\left(a b \right)\to \left( a+1 b \right)$，$Y$ 表示 $\left(a b \right)\to \left( a b+1 \right)$，$Z$ 表示 $\left(a b \right)\to \left( a+1 b+1 \right)$，那么动点移动的路径可用字母 $X$，$Y$，$Z$ 组成的一个字符串表示。设这个字符串中 $X$ 有 $x$ 个，$Y$ 有 $y$ 个，$Z$ 有 $z$ 个，则由题意必须有 $x+z=y+z=5$，且 $X$，$Y$ 不能相邻。因为字符串与路径是一一对应的，我们现在只要求满足条件的不同字符串有多少个即可。分情况讨论，―共有5种情况。
情况1：$x=y=0$，$z=5$ 显然这样的字符串只有1个 $ZZZZZ$ 。
情况2：$x=y=1$，$z=4$ 先在4个 $Z$ 之间插入空格，即口 $Z$ 口 $Z$ 口 $Z$ 口 $Z$ 口，然后把 $X$，$Y$ 填进空格中，每个空格中可能是 $X$ 或 $Y$，但 $X$，$Y$ 不能同时在同一空格中，所以有 $5\times 4=20$ 种不同的字符串。
情况3：$x=y=2$，$z=3$ 。先在3个 $Z$ 之间插入空格，即口口口口口，然后―把2个 $X$ 和2个 $Y$ 填进空格中，每个空格中可能含有不止一个 $X$ 或 $Y$，但不能同时含有 $X$ 和 $Y$，这又有4种不同的小情况：
（1）两个 $X$ 在同一空格中，两个 $Y$ 也在同一空格中，这样就有 $4\times 3=12$ 种不同的字符串；
（2）两个 $X$ 在同一空格中，而两个 $Y$ 分别在不同的空格中，这样就有 $4\times C_{3}^{2}=12$ 种不同的字符串；
（3）两个 $X$ 不在同一空格中，而两个 $Y$ 在同一空格中，这样就有 $4\times C_{3}^{2}=12$ 种不同的字符串；
（4）两个 $X$ 不在同一空格中，两个 $Y$ 也不在同一空格中，这样有 $C_{4}^{2}=6$ 种不同的字符串；
情况4：$x=y=3$，$z=2$ 。先在2个 $Z$ 之间插入空格，即口口口，同情况3可知这里有3种不同的小情况：
（1）3个 $X$ 中在一个空格中，3个分成含有2个和含有1个的两部分，每部分占一个空格，这样有 $3!0=6$ 种不同的字符串；
（2）3个 $X$ 中在一个空格中，3个 $Y$ 也在同了空格中，这样有 $3!0=6$ 种不同的字符串；
（3）3个 $X$ 中在一个空格中，2个 $Y$ 和含有1个的两部分，每部分占一个空格，3个在同一空格中，这样有 $3!0=6$ 种不同的字符串。
情况5：$x=y=4$，$z=1$ 。这时4个 $X$ 必须在一起，4个也在一起，这样只有2种不同的字符串。
综上所述，一共有 $1+20+\left( 12\times3+6 \right)+6\times 3+2=83$ 种不同的路径。
情况1：$x=y=0$，$z=5$ 显然这样的字符串只有1个 $ZZZZZ$ 。
情况2：$x=y=1$，$z=4$ 先在4个 $Z$ 之间插入空格，即口 $Z$ 口 $Z$ 口 $Z$ 口 $Z$ 口，然后把 $X$，$Y$ 填进空格中，每个空格中可能是 $X$ 或 $Y$，但 $X$，$Y$ 不能同时在同一空格中，所以有 $5\times 4=20$ 种不同的字符串。
情况3：$x=y=2$，$z=3$ 。先在3个 $Z$ 之间插入空格，即口口口口口，然后―把2个 $X$ 和2个 $Y$ 填进空格中，每个空格中可能含有不止一个 $X$ 或 $Y$，但不能同时含有 $X$ 和 $Y$，这又有4种不同的小情况：
（1）两个 $X$ 在同一空格中，两个 $Y$ 也在同一空格中，这样就有 $4\times 3=12$ 种不同的字符串；
（2）两个 $X$ 在同一空格中，而两个 $Y$ 分别在不同的空格中，这样就有 $4\times C_{3}^{2}=12$ 种不同的字符串；
（3）两个 $X$ 不在同一空格中，而两个 $Y$ 在同一空格中，这样就有 $4\times C_{3}^{2}=12$ 种不同的字符串；
（4）两个 $X$ 不在同一空格中，两个 $Y$ 也不在同一空格中，这样有 $C_{4}^{2}=6$ 种不同的字符串；
情况4：$x=y=3$，$z=2$ 。先在2个 $Z$ 之间插入空格，即口口口，同情况3可知这里有3种不同的小情况：
（1）3个 $X$ 中在一个空格中，3个分成含有2个和含有1个的两部分，每部分占一个空格，这样有 $3!0=6$ 种不同的字符串；
（2）3个 $X$ 中在一个空格中，3个 $Y$ 也在同了空格中，这样有 $3!0=6$ 种不同的字符串；
（3）3个 $X$ 中在一个空格中，2个 $Y$ 和含有1个的两部分，每部分占一个空格，3个在同一空格中，这样有 $3!0=6$ 种不同的字符串。
情况5：$x=y=4$，$z=1$ 。这时4个 $X$ 必须在一起，4个也在一起，这样只有2种不同的字符串。
综上所述，一共有 $1+20+\left( 12\times3+6 \right)+6\times 3+2=83$ 种不同的路径。
答案
解析
备注
