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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24326 5963209b3cafba0008337338 高中 解答题 自招竞赛 集合 $M\subseteq\{1,2,\cdots ,2011\}$，若 $M$ 满足：其任意三个元素 $a,b,c$，均满足 $ab\ne c$，则称 $M$ 具有性质 $P$，为方便起见，简记 $M\in P$．具有性质 $P$ 的所含元素最多的集合称为最大集，试问具有性质 $P$ 的最大集共有多少个？并给出证明． 2022-04-17 20:41:35
24318 59642841cbc4720008a498dc 高中 解答题 高中习题 若存在集合 $A$，$B$ 满足：$A\cap B=\varnothing $，且 $A\cup B=\mathbb N^*$，则称 $(A,B)$ 为 $\mathbb N^*$ 的一个二分划． 2022-04-17 20:36:35
24308 59647fba22a5da00083c22f9 高中 解答题 高考真题 已知数列 $A_n:a_1,a_2,\cdots,a_n$，如果数列 $B_n:b_1,b_2,\cdots,b_n$ 满足 $b_1=a_n,b_k=a_{k-1}+a_k-b_{k-1}$，其中 $k=2,3,\cdots,n$，则称 $B_n$ 为 $A_n$ 的“衍生数列”． 2022-04-17 20:31:35
24275 596b28f622d14000091d72d1 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 为素数，$n$ 为正整数，且 $n=n_0+n_1p+n_2p^2+\cdots+n_tp^t$，其中 $n_i\in\mathbb N^*$，$0\leqslant n_i\leqslant p-1$，$i=0,1,2,\cdots,t$．令 $S_n$ 表示满足下列条件的有序三元数组 $(a,b,c)$ 的集合：
① $a,b,c$ 均为非负整数；
② $a+b+c=n$；
③ $\dfrac{n!}{a!b!c!}$ 不能被 $p$ 整除．
问集合 $S_n$ 中共有多少个有序三元数组 $(a,b,c)$？		 2022-04-17 20:13:35
24196 597e8694d05b90000addb286 高中 解答题 高中习题 设 $\left\{a_n\right\}$ 是可以表示为两个或两个以上连续正整数之和的正整数从小到大排成的数列，设此数列的前 $n$ 项和为 $S_n$． 2022-04-17 20:29:34
24190 59804f873ccefb00089169f8 高中 解答题 自招竞赛 对于 $2n$ 元集合 $M=\{1,2,\cdots,2n\}$，若 $n$ 元集 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}\}$，$B=\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\}$ 满足：$A\cup B=M,A\cap B=\varnothing $，且 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}$，则称 $A\cap B$ 是集合 $M$ 的一个“等和划分”（$A\cup B$ 与 $B\cup A$ 算是同一个划分）．试确定集合 $M=\{1,2,3\cdots,12\}$ 共有多少个“等和划分”． 2022-04-17 20:25:34
24124 59ba35d398483e0009c73138 高中 解答题 高中习题 有 $A,B,C$ 三种粒子，其中 $A$ 有 $20$ 个，$B$ 有 $18$ 个，$C$ 有 $16$ 个．已知其中任何两种不同的粒子各 $1$ 个可以经过操作得到 $2$ 个第三种粒子，问是否存在使得这三种粒子变成同一种粒子的操作方案． 2022-04-17 20:49:33
24121 59ba35d398483e0009c7314c 高中 解答题 高中习题 一列正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 满足每个数都能整除之后的数，即 $a_n\mid a_{n+1}$，则它们模 $30$ 的余数最多可能有多少种不同的取值？ 2022-04-17 20:48:33
24027 59ba35d398483e0009c7318c 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足 $a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，对任意正整数 $n$，均有\[\begin{aligned}
a_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\
b_{n+1}&=\left|c_n-a_n\right|,\\
c_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|
,\end{aligned}\]求证：对任意正整数 $a,b,c$，均存在正整数 $m$，使得 $a_{m+1}-a_m=b_{m+1}-b_m=c_{m+1}-c_m=0$．		 2022-04-17 20:58:32
24003 59ba389798483e0009c732b6 高中 解答题 高中习题 设 $a,d$ 是正整数，求证：等差数列 $\{a+nd\}$（$n\in\mathbb N$）中有无穷多项，它们有相同的质因数． 2022-04-17 20:43:32
23986 599fdedb3020170007bcf996 高中 解答题 自招竞赛 定义 $f_M(x)=\begin{cases}-1,&x\in M,\\ 1, & x\notin M,\end{cases}$ 且 $M\Delta N=\{x\mid f_M(x)\cdot f_N(x)=-1\}$．集合 $A=\{x \mid x=k,k\in\mathbb N,1\leqslant k\leqslant 2016\}$，集合 $B=\{x\mid x=2k,k\in\mathbb N,1\leqslant k\leqslant 2016\}$． 2022-04-17 20:33:32
23960 59084be7060a05000bf29208 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$，首项 $a_1=1$ 的等差数列，问是否存在实数 $d$ 使得数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的 $d$ 的值；若不存在，说明理由． 2022-04-17 20:20:32
23917 59098c9038b6b400072dd1dd 高中 解答题 高中习题 给定整数 $n$（$n\geqslant 3$），记 $f(n)$ 为集合 $\left\{1,2,\cdots,2^n-1\right\}$ 的满足如下两个条件的子集 $A$ 的元素个数的最小值：
① $1\in A$，$2^n-1\in A$；
② $A$ 中的元素（除 $1$ 外）均为 $A$ 中另外两个元素（可以相同）的和．		 2022-04-17 20:54:31
23916 59098d1b38b6b40008d7bb55 高中 解答题 高中习题 已知集合 $S=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}$（$n\geqslant 3$），集合 $T\subseteq\left\{\left(x,y\right)\mid x\in S,y\in S,x\neq y\right\}$ 且满足 $\forall a_i,a_j\in S$（$i,j=1,2,3,\cdots,n,i\neq j$），$\left(a_i,a_j\right)\in T$ 与 $\left(a_j,a_i\right)\in T$ 恰有一个成立．对于 $T$ 定义$$d_T(a,b)=\begin{cases}1,(a,b)\in T,\\0,(b,a)\in T,\end{cases}$$以及$$\begin{split} l_T\left(a_i\right)=d_T\left(a_i,a_1\right)+d_T\left(a_i,a_2\right)+\cdots+d_T\left(a_i,a_{i-1}\right)+d_T\left(a_i,a_{i+1}\right)+\cdots+d_T\left(a_i,a_n\right),&\\i=1,2,3,\cdots,n.&\end{split}$$ 2022-04-17 20:54:31
23915 59098e0e38b6b400091effc2 高中 解答题 高中习题 设 $n$ 为给定的不小于 $5$ 的正整数，考察 $n$ 个不同的正整数 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$ 构成的集合 $P=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}$，若集合 $P$ 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合 $P$ 为"差异集合"． 2022-04-17 20:53:31
23884 59117a74e020e7000878f651 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A=\{1,2,3,\cdots ,23\}$，求最大的 $m\in A$，使得 $A$ 的任意一个包含 $m$ 的 $12$ 元子集中都存在两个不同的元素 $a,b$，使得 $a\mid b$． 2022-04-17 20:38:31
23863 59084798060a050008e622ca 高中 解答题 高中习题 如图，在正方形 $ABCD$ 内，有五个边长是不同的整数的正方形，且它们的一条对角线都在 $AC$ 上，且 $AB$ 长是 $2015$，求这五个正方形的面积之和的最大值及最小值． 2022-04-17 20:28:31
23806 590abf166cddca00092f6f7c 高中 解答题 高中习题 若集合 $B$ 是集合 $A=\{1,2,3,\cdots ,23\}$ 的 $12$ 元子集，且存在 $a,b\in B$，$b<a$，$b\mid a$，则称 $B$ 为"和谐集"．求最大的 $m\in A$，使包含 $m$ 的集合 $A$ 的有 $12$ 个元素的任意子集为"和谐集"． 2022-04-17 20:59:30
23798 590ad7c56cddca00092f706a 高中 解答题 高考真题 若数列 $A_n:a_1,a_2,\cdots ,a_n$（$n\geqslant 2$）满足 $\left|a_{k+1}-a_k\right|=1$（$k=1,2,\cdots ,n-1$），则称 $A_n$ 为 $E$ 数列．记 $S(A_n)=a_1+a_2+\cdots +a_n$． 2022-04-17 20:54:30
23796 590ace126cddca000a081a13 高中 解答题 高考真题 对于数集 $X=\{-1,x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$，其中 $0<x_1<x_2<\cdots <x_n$，$n\geqslant 2$．定义向量集 $Y=\{\overrightarrow a\mid \overrightarrow a=(s,t),s,t\in X\}$，若对任意 $\overrightarrow a_1\in Y$，存在 $\overrightarrow a_2\in Y$，使得 $\overrightarrow a_1\cdot \overrightarrow a_2=0$，则称 $X$ 具有性质 $P$．例如 $\{-1,1,2\}$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 20:53:30
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