设 $a,d$ 是正整数，求证：等差数列 $\{a+nd\}$（$n\in\mathbb N$）中有无穷多项，它们有相同的质因数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为任何两个公差为正整数的等差数列中如果有两项对应相同，那么就有无数项对应相同（这是因为若$$a_i=b_m,a_j=b_n,i<j,m<n,$$则 $a_{2j-i}=b_{2n-m}$，一直类推下去，可以找到无穷多项），因此只需要证明等差数列中有两项不互质．
情形一 当 $a\geqslant 2$ 时，有 $(a,a+d\cdot a)=a$ 满足条件；
情形二 当 $a=1$ 时，有 $(1+d,1+d(2+d))=1+d$ 满足条件；
因此命题得证．
因此命题得证．
答案
解析
备注
