题目 已知集合 $S=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}$（$n\geqslant 3$），集合 $T\subseteq\left\{\left(x,y\right)\mid x\in S,y\in S,x\neq y\right\}$ 且满足 $\forall a_i,a_j\in S$（$i,j=1,2,3,\cdots,n,i\neq j$），$\left(a_i,a_j\right)\in T$ 与 $\left(a_j,a_i\right)\in T$ 恰有一个成立．对于 $T$ 定义$$d_T(a,b)=\begin{cases}1,(a,b)\in T,\\0,(b,a)\in T,\end{cases}$$以及$$\begin{split} l_T\left(a_i\right)=d_T\left(a_i,a_1\right)+d_T\left(a_i,a_2\right)+\cdots+d_T\left(a_i,a_{i-1}\right)+d_T\left(a_i,a_{i+1}\right)+\cdots+d_T\left(a_i,a_n\right),&\\i=1,2,3,\cdots,n.&\end{split}$$ 问题1 若 $n=4$，$\left(a_1,a_2\right)$，$\left(a_3,a_2\right)$，$\left(a_2,a_4\right)\in T$，求 $l_T\left(a_2\right)$ 的值及 $l_T\left(a_4\right)$ 的最大值； 答案1 $l_T\left(a_2\right)=1$，$l_T\left(a_4\right)$ 最大为 $2$ 解析1 我们引入"坐标"来理解题意．将 $\left(a_i,a_j\right)\in T$ 用坐标 $\left(i,j\right)$ 的位置打" $\surd$ "表示，相应地，此时 $\left(a_j,a_i\right)\not\in T$ 用坐标 $\left(j,i\right)$ 的位置打" $\times$ "表示．这样一来就有任何一个" $\surd$ "关于 $y=x$ 对称的位置均为" $\times$ "，且 $l_T\left(a_i\right)$ 表示第 $i$ 列中的" $\surd$ "的总数．那么有下图．<img src="/static/images/4526890eafbc6bba3c78137f8336c3a5.png" class="img-responsive" />从而 $l_T\left(a_2\right)=1$，且 $l_T\left(a_4\right)$ 最大为 $2$； 备注1 问题2 从 $l_T\left(a_1\right)$，$l_T\left(a_2\right)$，$\cdots$，$l_T\left(a_n\right)$ 中任意删去两个数，记剩下的 $n-2$ 个数的和为 $M$．求证：$$M\geqslant \dfrac 12n(n-5)+3.$$ 答案2 略 解析2 根据题意得$$M\geqslant \sum_{i=1}^n{l_T\left(a_i\right)}-\left(n-1\right)-\left(n-2\right)=\dfrac{1}{2}n\left(n-1\right)-2n+3=\dfrac 12n^2-\dfrac 52n+3,$$于是原不等式成立． 备注2 问题3 对于满足 $l_T\left(a_i\right)<n-1$（$i=1,2,3,\cdots,n$）的每一个集合 $T$，集合 $S$ 中是否都存在三个不同的元素 $e$，$f$，$g$，使得$$d_T\left(e,f\right)+d_T\left(f,g\right)+d_T\left(g,e\right)=3$$恒成立，并说明理由． 答案3 存在 解析3 答案是肯定的，这里需要利用极端原理进行构造．<img src="/static/images/5307dece6c691a860fa553148326063d.png" class="img-responsive" />如图，设 $l_T{\left(a_f\right)}$ 最大．根据题意 $l_T{\left(a_f\right)}\leqslant{n-2}$，于是第 $f$ 列中必然存在一个“$\times$”，设其坐标为 $\left(f,e\right)$，于是在 $\left(e,f\right)$ 处为“$\surd$”．逐行比较第 $e$ 列和第 $f$ 列中的数．由于这两列在第 $f$ 行和第 $e$ 行的较量中第 $e$ 列多出一个“$\surd$”，因此在其他行的较量中必然存在某一行为第 $e$ 列为“$\times$”而第 $f$ 列为“$\surd$”的情况（否则与 $l_T{\left(a_f\right)}$ 最大矛盾），设该行为第 $g$ 行．这样一来，我们就有坐标 $\left(e,f\right)$，$\left(f,g\right)$，$\left(g,e\right)$ 处均为“$\surd$”，命题得证． 备注3 事实上，本题的原始版本为 $n$（$n\geqslant 3$）个选手进行单循环赛，如果没有任何一个选手全胜，那么必然存在三个选手 $A,B,C$，其中 $A$ 胜了 $B$，$B$ 胜了 $C$，而 $C$ 胜了 $A$．<br/>每日一题[65]利用极端原理构造．