对于数集 $X=\{-1,x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$，其中 $0<x_1<x_2<\cdots <x_n$，$n\geqslant 2$．定义向量集 $Y=\{\overrightarrow a\mid \overrightarrow a=(s,t),s,t\in X\}$，若对任意 $\overrightarrow a_1\in Y$，存在 $\overrightarrow a_2\in Y$，使得 $\overrightarrow a_1\cdot \overrightarrow a_2=0$，则称 $X$ 具有性质 $P$．例如 $\{-1,1,2\}$ 具有性质 $P$．
【难度】
【出处】
2012年高考上海卷（理）
【标注】
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若 $x>2$，且 $\{-1,1,2,x\}$ 具有性质 $P$，求 $x$ 的值；标注答案$x=4$解析取 $\overrightarrow a_1=(2,x)$，则对应的 $\overrightarrow a_2$ 必然为 $\left(\dfrac 12x,-1\right)$，于是 $x=4$．
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若 $X$ 具有性质 $P$，求证：$1\in X$，且当 $x_n>1$ 时，$x_1=1$；标注答案略解析因为若取 $\overrightarrow a_1=(x_1,x_1)$，那么 $\overrightarrow a_2$ 必然为 $(1,-1)$ 或 $(-1,1)$，于是 $1\in X$．接下来用反证法证明当 $x_n>1$ 时，$x_1=1$．
若不然，则 $0<x_1<1=x_k<x_n$（$1<k<n$ 且 $k\in\mathbb N^*$），此时取 $\overrightarrow a_1=(x_1,x_n)$，则对应的 $\overrightarrow a_2$ 为 $\left(-1,\dfrac{x_1}{x_n}\right)$ 或 $\left(\dfrac{x_n}{x_1},-1\right)$．由于$$\dfrac{x_1}{x_n}<x_1,\dfrac{x_n}{x_1}>x_n,$$于是 $\dfrac{x_1}{x_n},\dfrac{x_n}{x_1}\notin X$，矛盾．因此当 $x_n>1$ 时，$x_1=1$． -
若 $X$ 具有性质 $P$，且 $x_1=1$，$x_2=q$（$q$ 为常数），求有穷数列 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的通项公式．标注答案$x_k=q^{k-1}$（$k=1,2,\cdots ,n$）解析设集合$$M=\left\{\dfrac{x_i}{x_j}\mid x_i,x_j\in X\right\},$$对于任意有 $\dfrac {x_i}{x_j}\in M$，因为 $(x_i,x_j)\in Y$，所以 $\left(-1,\dfrac {x_i}{x_j}\right)$ 与 $\left(\dfrac {x_j}{x_i},-1\right)$ 中至少有一个元素在 $Y$ 中，记为 $x_k$，于是我们得到$$M\subseteq\{-x_n,\cdots ,-1,1,q,\cdots ,x_n\}.$$又因为 $x_k=\dfrac {x_k}{x_1}\in M$，所以 $-x_k=\dfrac {x_k}{-1}\in M$，所以有$$\{-x_n,\cdots ,-1,1,q,\cdots ,x_n\}\subseteq M,$$于是 $M=\{-x_n,\cdots ,-1,1,q,\cdots ,x_n\}$，共 $2n$ 个元素．考虑到\[\begin{split} &\dfrac{x_n}{x_{n-1}}<\dfrac{x_n}{x_{n-2}}<\cdots <\dfrac{x_n}{x_2}<\dfrac{x_n}{x_1},\\
&\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-2}}<\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-3}}\cdots <\dfrac{x_{n-1}}{x_1},\\
&\cdots ,\\
&\dfrac{x_4}{x_3}<\dfrac{x_4}{x_2}<\dfrac{x_4}{x_1},\\
&\dfrac{x_3}{x_2}<\dfrac{x_3}{x_1},\\
&\dfrac{x_2}{x_1},\end{split}\]而$$\dfrac{x_3}{x_1}<\dfrac{x_4}{x_1}<\cdots <\dfrac{x_{n-1}}{x_1}<\dfrac{x_n}{x_1},$$于是$$\dfrac{x_n}{x_{n-1}}=\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-2}}=\cdots =\dfrac{x_4}{x_3}=\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_2}{x_1}=q,$$因此数列 $\{x_n\}$ 的通项公式为 $x_k=q^{k-1}$（$k=1,2,\cdots ,n$）．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
