题目 已知数列 $A_n:a_1,a_2,\cdots,a_n$，如果数列 $B_n:b_1,b_2,\cdots,b_n$ 满足 $b_1=a_n,b_k=a_{k-1}+a_k-b_{k-1}$，其中 $k=2,3,\cdots,n$，则称 $B_n$ 为 $A_n$ 的“衍生数列”． 问题1 若数列 $A_4:a_1,a_2,a_3,a_4$ 的“衍生数列”是 $B_4:5,-2,7,2$，求 $A_4$； 答案1 $A_4:2,1,4,5$ 解析1 $A_4:2,1,4,5$； 备注1 问题2 若 $n$ 为偶数，且 $A_n$ 的“衍生数列”是 $B_n$，证明：$B_n$ 的“衍生数列”是 $A_n$； 答案2 略 解析2 由题可知\[\begin{split}&b_1=a_n,\\ &b_1+b_2=a_1+a_2,\\&b_2+b_3=a_2+a_3,\\ &\cdots,\\&b_{n-1}+b_n=a_{n-1}+a_n,\end{split}\]因此，$$b_1-(b_1+b_2)+(b_2+b_3)-\cdots-(b_{n-1}+b_n)=a_n-(a_1+a_2)+(a_2+a_3)-\cdots-(a_{n-1}+a_n),$$即 $b_n=a_1$．由于$$a_1=b_n,a_i=b_{i-1}+b_i-a_{i-1}(i=2,3,\cdots,n),$$根据“衍生数列”的定义知，数列 $A_n$ 是 $B_n$ 的“衍生数列”． 备注2 问题3 若 $n$ 为奇数，且 $A_n$ 的“衍生数列”是 $B_n$，$B_n$ 的“衍生数列”是 $C_n$，$\cdots$，依次将数列 $A_n,B_n,C_n$ 的第 $i(i=1,2,\cdots,n)$ 项取出，构成数列 $\Omega_i:a_i,b_i,c_i,\cdots$．证明：$\Omega_i$ 是等差数列． 答案3 略 解析3 因为 $b_i=a_{i-1}+a_i-b_{i-1}(i=2,3,4,\cdots,n)$，所以$$b_i-a_i=-(b_{i-1}-a_{i-1}),(i=2,3,4,\cdots,n),$$所以欲证 $\Omega_{i}$ 成等差数列，只需证明 $\Omega_1$ 成等差数列即可．<br/>对于数列 $A_n$ 及其“衍生数列”$B_n$，满足\[\begin{split}&b_1=a_n,\\ &b_1+b_2=a_1+a_2,\\&b_2+b_3=a_2+a_3,\\ &\cdots,\\&b_{n-1}+b_n=a_{n-1}+a_n,\end{split}\]因此，$$b_1-(b_1+b_2)+(b_2+b_3)-\cdots-(b_{n-1}+b_n)=a_n-(a_1+a_2)+(a_2+a_3)-\cdots-(a_{n-1}+a_n),$$即$$b_n=a_n-a_1+a_n=2a_n-a_1.$$设数列 $B_n$ 的“衍生数列”为 $C_n$，因为$$b_1=a_n , c_1=b_n=2a_n-a_1,$$所以$$2b_1=a_1+c_1,$$即 $a_1,b_1,c_1$ 成等差数列．<br/>依次类推，所以 $\Omega_i$ 成等差数列． 备注3