若数列 $A_n:a_1,a_2,\cdots ,a_n$（$n\geqslant 2$）满足 $\left|a_{k+1}-a_k\right|=1$（$k=1,2,\cdots ,n-1$），则称 $A_n$ 为 $E$ 数列．记 $S(A_n)=a_1+a_2+\cdots +a_n$．
【难度】
【出处】
2011年高考北京卷（理）
【标注】
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写出一个满足 $a_1=a_5=0$，且 $S(A_3)>0$ 的 $E$ 数列 $A_5$；标注答案$0,1,2,1,0$解析$0,1,2,1,0$；
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若 $a_1=12$，$n=2000$，证明：$E$ 数列 $A_n$ 是递增数列的充要条件是 $a_n=2011$；标注答案略解析由于 $\left|a_{k+1}-a_{k}\right|=1$，于是 $a_{k+1}-a_k\leqslant 1$，等号取得的条件是 $a_{k+1}>a_k$，其中 $k=1,2,\cdots ,n$．累加可得$$a_{2000}-a_1\leqslant 1999,$$等号当且仅当$$a_{2000}>a_{1999}>a_{1998}>\cdots >a_1$$时取得，因此原命题得证．
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对任意给定的整数 $n$（$n\geqslant 2$），是否存在首项为 $0$ 的 $E$ 数列 $A_n$，使得 $S(A_n)=0$．如果存在，写出一个满足条件的 $E$ 数列 $A_n$；如果不存在，说明理由．标注答案当 $n\equiv 0\pmod{4}$ 时，满足条件的一个 $A_n$ 是$$\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1};$$当 $n\equiv 1\pmod{4}$ 时，满足条件的一个 $A_n$ 是$$\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1},0;$$当 $n\equiv 2,3\pmod{4}$ 时，不存在满足条件的 $E$ 数列 $A_n$解析显然当 $i$ 是奇数时，$a_i$ 是偶数；当 $i$ 是偶数时，$a_i$ 是奇数，其中 $i=1,2,\cdots ,n$．因此若 $S\left(A_n\right)=0$，则 $n\equiv 0,1\pmod{4}$，否则 $S\left(A_n\right)$ 为奇数．当 $n\equiv 0\pmod{4}$ 时，满足条件的一个 $A_n$ 是$$\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1};$$当 $n\equiv 1\pmod{4}$ 时，满足条件的一个 $A_n$ 是$$\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1},0;$$当 $n\equiv 2,3\pmod{4}$ 时，不存在满足条件的 $E$ 数列 $A_n$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
