已知集合 $A=\{1,2,3,\cdots ,23\}$，求最大的 $m\in A$，使得 $A$ 的任意一个包含 $m$ 的 $12$ 元子集中都存在两个不同的元素 $a,b$，使得 $a\mid b$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$7$
【解析】
由于问题是求 $m$ 的最大值，因此应该从大到小考虑．根据题意，如果我们构造出了一个任何两个元素均没有整除关系的 $12$ 元子集，那么这个集合中的所有数均会被排除．
情形1 直接取集合$$\{12,13,14,\cdots ,23\},$$这样就否定了 $m$ 的最大值是 $12$ 到 $23$ 的可能．
情形2 由于 $22=2\times 11$，因此把 $22$ 换成 $11$，就否定了 $m$ 的最大值是 $11$ 的可能．
情形3 由于 $20=2\times 10$，因此把 $20$ 换成 $10$，就否定了 $m$ 的最大值是 $10$ 的可能．
情形4 由于 $18=2\times 9$，因此把 $18$ 换成 $9$，就否定了 $m$ 的最大值是 $9$ 的可能．
情形5 由于 $16=2\times 8$，因此把 $16$ 换成 $8$，就否定了 $m$ 的最大值是 $8$ 的可能．
情形6 由于 $14=2\times 7$，然后 $21=3\times 7$，因此无法用相同的手段否定 $m$ 的最大值是 $7$ 的可能．整理一下阶段性成果，取集合$$\{12,13,14,15,8,17,9,19,10,21,11,23\},$$这样就否定了 $m$ 的最大值是 $8$ 到 $11$ 的可能．
情形7 我们尝试证明 $m$ 的最大值为 $7$．当子集中包含 $7$ 时，$1,14,21$ 必然不能选，$13,17,19,23$ 必然可以选．此时将剩下的 $15$ 个数分为以下 $6$ 组：$$\{22,11\},\{20,10\},\{18,9,3\},\{16,8,4,2\},\{15,5\},\{12,6\}.$$由于在这 $15$ 个数中至少要选出 $7$ 个数，因此必然会出现两个数存在整除关系．
综上所述，$m$ 的最大值为 $7$．
综上所述，$m$ 的最大值为 $7$．
答案
解析
备注
