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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27525 5909433b060a050008cff48e 高中 解答题 高中习题 求 $(1+x)^{2016}$ 的展开式中不能被 $7$ 整除的系数的个数． 2022-04-17 21:07:05
26234 596ecf08dbbeff000aeab73f 高中 解答题 自招竞赛 对于 $2n$ 个素数组成的集合 $M=\{p_1,p_2,\cdots,p_{2n}\}$，将其元素两两搭配成 $n$ 个乘积，得到一个 $n$ 元集，如果 $A=\{a_1a_2,a_3a_4,\cdots,a_{2n-1}a_{2n}\}$ 与 $B=\{b_1b_2,b_3b_4,\cdots,b_{2n-1}b_{2n}\}$ 是由此得到的两个 $n$ 元集，其中 $\{a_1,a_2,\cdots,a_{2n}\}=\{b_1,b_2,\cdots,b_{2n}\}=M$，且 $A \cap B=\varnothing$，就称集合对 $\{A,B\}$ 是由 $M$ 炮制成的一幅“对联”．（例如当 $n=2$ 时，由四元集 $\{a,b,c,d\}$ 可以炮制成三幅“对联”：$\{ab,cd\}\sim \{ac,bd\}$，$\{ab,cd\}\sim \{ad,bc\}$，$\{ac,bd\}\sim \{ad,bc\}$）．
当 $n=3$ 时，求 $6$ 元素数集 $M=\{a,b,c,d,e,f\}$ 所能炮制成的“对联”数．		 2022-04-17 20:06:53
24326 5963209b3cafba0008337338 高中 解答题 自招竞赛 集合 $M\subseteq\{1,2,\cdots ,2011\}$，若 $M$ 满足：其任意三个元素 $a,b,c$，均满足 $ab\ne c$，则称 $M$ 具有性质 $P$，为方便起见，简记 $M\in P$．具有性质 $P$ 的所含元素最多的集合称为最大集，试问具有性质 $P$ 的最大集共有多少个？并给出证明． 2022-04-17 20:41:35
24275 596b28f622d14000091d72d1 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 为素数，$n$ 为正整数，且 $n=n_0+n_1p+n_2p^2+\cdots+n_tp^t$，其中 $n_i\in\mathbb N^*$，$0\leqslant n_i\leqslant p-1$，$i=0,1,2,\cdots,t$．令 $S_n$ 表示满足下列条件的有序三元数组 $(a,b,c)$ 的集合：
① $a,b,c$ 均为非负整数；
② $a+b+c=n$；
③ $\dfrac{n!}{a!b!c!}$ 不能被 $p$ 整除．
问集合 $S_n$ 中共有多少个有序三元数组 $(a,b,c)$？		 2022-04-17 20:13:35
24190 59804f873ccefb00089169f8 高中 解答题 自招竞赛 对于 $2n$ 元集合 $M=\{1,2,\cdots,2n\}$，若 $n$ 元集 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}\}$，$B=\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\}$ 满足：$A\cup B=M,A\cap B=\varnothing $，且 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}$，则称 $A\cap B$ 是集合 $M$ 的一个“等和划分”（$A\cup B$ 与 $B\cup A$ 算是同一个划分）．试确定集合 $M=\{1,2,3\cdots,12\}$ 共有多少个“等和划分”． 2022-04-17 20:25:34
23712 59b62305b049650007283045 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$，$a_0=0$，对任意正整数 $n$ 都有 $\left|a_n-a_{n-1}\right|=2^{n-1}$，$m$ 是给定的正整数，求 $a_m$ 的所有可能取值． 2022-04-17 20:07:30
23094 590adc726cddca00092f7080 高中 解答题 高中习题 将 $1$ 到 $n$ 的 $n$ 个正整数按下面的方法排成一个排列，要求：除左边的第一个数外，每个数都与它左边（未必相邻）的某个数相差 $1$，将此种排列称为“$n$ 排列”．比如“$2$ 排列”为当 $n=2$ 时，有 $1,2$；$2,1$；共 $2$ 种排列．“$3$ 排列”为当 $n=3$ 时，有 $1,2,3$；$2,1,3$；$2,3,1$；$3,2,1$；共 $4$ 种排列． 2022-04-17 20:23:24
23018 59111f69e020e7000a798788 高中 解答题 高中习题 对给定的正整数 $n$，若存在若干个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$，满足 $a_1+a_2+\cdots+a_k=n(k=1,2,\cdots)$，且 $a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_k$，则称数列 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为正整数 $n$ 的一个“友数列”．若 $n$ 的所有友数列的个数记为 $M_n$，对任意一个友数列 $\sigma _i^n(i=1,2,\cdots,M_n)$，$A\left(\sigma _i^n\right)$ 表示数列中数字 $1$ 出现的个数，$B\left(\sigma _i^n\right)$ 表示数列中出现的不同数字的个数，则研究下列问题： 2022-04-17 20:42:23
21759 59477509a26d280009c98c6c 高中 解答题 高中习题 无穷数列 $P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$ 满足 $a_i\in\mathbb N^{\ast}$，且 $a_i\leqslant a_{i+1}$（$i\in\mathbb N^{\ast}$）．对于数列 $P$，记 $T_k(P)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）表示集合 $\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}$ 中最小的数． 2022-04-17 20:57:11
21756 590ad9fd6cddca00078f39db 高中 解答题 高中习题 无穷数列 $P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$ 满足 $a_i\in\mathbb N^{\ast}$，且 $a_i\leqslant a_{i+1}$（$i\in\mathbb N^{\ast}$）．对于数列 $P$，记 $T_k(P)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）表示集合 $\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}$ 中最小的数． 2022-04-17 20:55:11
20646 5927a1ee74a309000798ce00 高中 解答题 高考真题 设 $m>3$，对于有穷数列 $\{a_{n}\}(n=1,2,\cdots,m)$，令 $b_{k}$ 为 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ 中的最大值，称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“创新数列”，数列 $\{b_{n}\}$ 中不相等项的个数称为 $\{a_{n}\}$ 的“创新阶数”．例如数列 $2,1,3,7,5$ 的创新数列为 $2,2,3,7,7$，创新阶数为 $3$．
考查自然数 $1,2,\cdots,m(m>3)$ 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列 $\{c_{n}\}$．		 2022-04-17 20:41:01
15445 5975b0306b07450008983689 高中 解答题 自招竞赛 对于 $2n$ 元集合 $M=\{1,2,\cdots,2n\}$，若 $n$ 元集 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}\}$，$B=\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\}$ 满足：$A\cup B=M,A\cap B=\varnothing $，且 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}$，则称 $A\cap B$ 是集合 $M$ 的一个“等和划分”（$A\cup B$ 与 $B\cup A$ 算是同一个划分）．试确定集合 $M=\{1,2,3\cdots,12\}$ 共有多少个“等和划分”． 2022-04-17 19:45:13
14118 590943ac060a05000970b32e 高中 填空题 高中习题 具有下列条件的 $n$ 位十进制数称为“$n$ 位和谐数”：
① 首位为 $1$；
② 不含 $1,2,3$ 外的其他数字；
③ 每个数字都至少和一个奇偶性相同的数字相邻．
则“$10$ 位和谐数”的个数为 ．		 2022-04-16 22:40:55
13866 590ad83e6cddca000a081a7b 高中 填空题 高中习题 给定集合 $A_n=\{1,2,3,\cdots ,n\}$，映射 $f:A_n\to A_n$ 满足：
① 当 $i,j\in A_n$，$i\ne j$ 时，$f(i)\ne f(j)$；
② 任取 $m\in A_n$，若 $m\geqslant 2$，则有 $m\in \left\{f(1),f(2),\cdots ,f(m)\right\}$．
则称映射 $f:A_n\to A_n$ 是一个优映射．
$(1)$ 当 $n=4$ 时，若 $f(2)=3$，写出一个符合条件的优映射：$f(1)=$  ，$f(3)=$  ；
$(2)$ 若映射 $f:A_{2010}\to A_{2010}$ 是优映射，且 $f(1004)=1$，则 $f(1000)+f(1007)$ 的最大值为 ；
$(3)$ 若映射 $f:A_{10}\to A_{10}$ 是优映射，且方程 $f(x)=x$ 的解恰有 $6$ 个，则这样的优映射的个数是 ．		 2022-04-16 22:28:53
11635 59644d96e6a2e7000bb7ebb6 高中 填空题 自招竞赛 将集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对于其余的每个数 $n$，在 $n$ 的左边某个位置上总有一个数与 $n$ 之差的绝对值为 $1$，那么满足条件的排列个数为 ． 2022-04-16 22:51:32
11506 5a0510dce1d46300089a374e 高中 填空题 高中习题 定义函数 $f(x)=[x[x]]$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，当 $x\in[0,n)$，其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 时，设函数 $f(x)$ 的值域为 $A$，记集合 $A$ 中的元素个数为 $a_n$，则式子 $\dfrac{a_n+90}{n}$ 的最小值为 ． 2022-04-16 22:43:31
9563 590abf3c6cddca0008610e0e 高中 填空题 高中习题 一个数字生成器，生成规则如下：第 $1$ 次生成一个数 $x$，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数 $x$ 生成两个数，一个是 $-x$，另一个是 $x+3$．设第 $n$ 次生成的数的个数为 $a_n$，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=$  ；若 $x=1$，前 $n$ 次生成的所有数中不同的数的个数为 $T_n$，则 $T_n=$  ． 2022-04-16 22:14:10
9526 5926741dee79c20009339817 高中 填空题 高中习题 给定集合 $A_n=\{1,2,3,\cdots,n\}$，映射 $f: A_n \mapsto A_n$ 满足：
① 当 $i,j \in A_n $，$i\neq j$ 时，$f(i) \neq f(j)$；
② 任取 $m \in A_n$，若 $m \geqslant 2$，则有 $m \in \{f(1),f(2),\cdots,f(m)\}$．
则称映射 $f: A_n \mapsto A_n$ 是一个“优映射”．
例如：用下表表示的映射 $f: A_3 \mapsto A_3$ 是一个“优映射”．\[\begin{array}{|c|c|c|c| } \hline i&1&2&3 \\ \hline f\left(i\right)&2&3&1 \\ \hline \end{array}\]$(1)$ 已知下表表示的映射 $f: A_4 \mapsto A_4 $ 是一个“优映射”，请把表补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；\[\begin{array}{|c|c|c|c|c| } \hline i&1&2&3&4 \\ \hline f\left(i\right)& &3& & \\ \hline \end{array}\]$(2)$ 若映射 $f: A_{2010} \mapsto A_{2010} $ 是“优映射”，且 $f(1004)=1$，则 $f(1000)+f(1007)$ 的最大值是  ．
$(3)$ 若映射 $f: A_{10} \mapsto A_{10} $ 是“优映射”，且方程 $f(i)=i$ 的解恰有 $6$ 个，则这样的“优映射”的个数是  ．		 2022-04-16 22:54:09
9505 59427a55e45eee0007c5ea77 高中 填空题 高中习题 一个数字生成器，生成规则如下：第 $1$ 次生成一个数 $x$，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数 $x$ 生成两个数，一个是 $-x$，另一个是 $x+3$．设第 $n$ 次生成的数的个数为 $a_n$，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=$  ；若 $x=1$，前 $n$ 次生成的所有数中不同的数的个数为 $T_n$，则 $T_n=$  ． 2022-04-16 22:42:09
6771 5a13c8f6aaa1af000891227a 高中 填空题 自招竞赛 在坐标平面内，横纵坐标都是正数的点称为格点．一个质点从原点出发走 $5$ 步，每一步走一个单位长度到达相邻的一个格点（每个格点可重复经过），则它能到达的不同地点有 个；它从原点到达点 $(4,1)$ 的不同路径有 种． 2022-04-16 21:58:49
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