题目 对给定的正整数 $n$，若存在若干个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$，满足 $a_1+a_2+\cdots+a_k=n(k=1,2,\cdots)$，且 $a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_k$，则称数列 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为正整数 $n$ 的一个“友数列”．若 $n$ 的所有友数列的个数记为 $M_n$，对任意一个友数列 $\sigma _i^n(i=1,2,\cdots,M_n)$，$A\left(\sigma _i^n\right)$ 表示数列中数字 $1$ 出现的个数，$B\left(\sigma _i^n\right)$ 表示数列中出现的不同数字的个数，则研究下列问题： 问题1 当 $n=4$ 时，分别写出 $\displaystyle M_4,\sum \limits _{i=1}^{M_4} {A\left(\sigma _i^4 \right )},\sum \limits _{i=1}^{M_4} {B\left(\sigma _i^4 \right)}$； 答案1 $5,7,7$ 解析1 $\displaystyle M_4=5,\sum \limits_{i=1}^{M_4}{A\left(\sigma_i^4\right )}=7,\sum \limits _{i=1}^{M_4}{B\left(\sigma _i^4 \right )}=7$． 备注1 问题2 计算 $\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{M_5} {A\left(\sigma _i^5 \right )}$，并比较其与 $M_4+M_3+M_2+M_1+1$ 的大小； 答案2 相等 解析2 因为 $\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{M_5}{A\left(\sigma_i^5\right)}=12$，及$$M_4+M_3+M_2+M_1+1=5+3+2+1+1=12,$$所以$$\sum \limits _{i=1}^{M_5}{A\left(\sigma_i^5\right)}=M_4+M_3+M_2+M_1+1.$$ 备注2 问题3 对给定的正整数 $n$，试比较 $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{M_n}{A\left(\sigma _i^n\right)}$ 与 $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{M_n}{B\left(\sigma_i^n \right)}$ 的大小，并说明理由． 答案3 相等 解析3 对给定的正整数 $n$，一方面，在所有 $M_n$ 个友数列中，首项为 $1$ 的有 $M_{n-1}$ 个，第二项为 $1$ 的有 $M_{n-2}$ 个，$\cdots$，第 $n-1$ 项为 $1$ 的有 $M_1=1$ 个，第 $n$ 项为 $1$ 的有 $1$ 个，因此$$\sum \limits _{i=1}^{M_n}{A\left(\sigma _i^n \right)} =M_{n-1}+M_{n-2}+\cdots+M_2+M_1+1.$$另一方面，在所有 $M_n$ 个友数列中，从含有 $1$ 的一个友数列里去掉一个 $1$，则成为 $n-1$ 的一个友数列，共有 $M_{n-1}$ 个，即出现 $1$ 的数列有 $M_{n-1}$ 个；从含有 $2$ 的一个友数列里去掉一个 $2$，则成为 $n-2$ 的一个友数列，共有 $M_{n-2}$ 个，即出现 $2$ 的数列有 $M_{n-2}$ 个；$\cdots$；从含有 $n-1$ 的一个友数列里去掉一个 $n-1$，则成为 $1$ 的一个友数列，共有 $M_{1}$ 个；最后加上含有 $n$ 的 $1$ 个友数列．因此$$\sum \limits _{i=1}^{M_n}{B\left(\sigma _i^n \right )} =M_{n-1}+M_{n-2}+\cdots+M_2+M_1+1.$$综上所述，$\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{M_n} {A\left(\sigma _i^n \right)}=\sum\limits _{i=1}^{M_n}{B\left(\sigma _i^n \right)}$． 备注3 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{M_n}{B\left(\sigma _i^n \right)}$ 的计算中用到了“算两次”的思想，即对 $n$ 的每个友数列分别统计其中出现的不同数字的个数（即左边），再将所有的友数列合在一起，计算 $1,2,\cdots,n$ 在这些数列中出现的次数（在同一个友数列中，多次算成一次）再相加（即右边），两者结果相同得到结论．<br/>每日一题[397]友数列．