已知数列 $\{a_n\}$，$a_0=0$，对任意正整数 $n$ 都有 $\left|a_n-a_{n-1}\right|=2^{n-1}$，$m$ 是给定的正整数，求 $a_m$ 的所有可能取值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left\{2k-1\mid -2^{m-1}<k\leqslant 2^{m-1},k\in\mathbb Z\right\}$
【解析】
$a_m$ 的所有可能取值是\[\left\{2k-1\mid -2^{m-1}<k\leqslant 2^{m-1},k\in\mathbb Z\right\},\]证明如下．
显然，$a_m$ 必然为奇数．考虑到\[|a_m|\leqslant 2^0+2^1+\cdots+2^{m-1}=2^m-1,\]而在 $-\left(2^{m}-1\right)$ 和 $2^{m}-1$ 之间（包括两者）的奇数为 $2^m$ 个．记\[x_n=\dfrac{a_n-a_{n-1}}{2^{n-1}},n\in\mathbb N^*,\]则每一个有序数组\[\left(x_1,x_2,\cdots,x_m\right)\]对应一个 $a_m$，这样的有序数组有 $2^m$ 个（因为每一位均为 $1$ 或 $-1$）．因此只需要证明不同的有序数组对应的数列 $\{a_n\}$ 中的第 $m$ 项必然不同．设\[\begin{split}
\left(x_1,x_2,\cdots,x_m\right)\to a_m,\\
\left(x_1',x_2',\cdots,x_m'\right)\to a_m',\end{split}\]则\[a_m-a_m'=\left(x_m-x_m'\right)\cdot 2^{m-1} +\cdots+\left(x_1-x_1'\right)\cdot 2^0,\]设两个有序数组从第 $m$ 位计算第一处不一致的位置为第 $p$ 位，那么考虑到\[\begin{split}\left|x_p-x_p'\right|\cdot 2^{p-1}&=2^p\\
&>2^{p-1}+2^{p-2}+\cdots+2^1,\\
&\geqslant \left|x_{p-1}-x_{p-1}'\right|\cdot 2^{p-2}+\left|x_{p-2}-x_{p-2}'\right|\cdot 2^{p-3}+\cdots+\left|x_1-x_1'\right|\cdot 2^0,\end{split}\]因此 $x_m-x_m'$ 的符号由 $x_p-x_p'$ 决定，进而 $x_m\ne x_m'$．这样就证明了有序数对与数列一一对应．因此 $a_m$ 的所有可能取值是\[\left\{2k-1\mid -2^{m-1}<k\leqslant 2^{m-1},k\in\mathbb Z\right\}.\]
显然，$a_m$ 必然为奇数．考虑到\[|a_m|\leqslant 2^0+2^1+\cdots+2^{m-1}=2^m-1,\]而在 $-\left(2^{m}-1\right)$ 和 $2^{m}-1$ 之间（包括两者）的奇数为 $2^m$ 个．记\[x_n=\dfrac{a_n-a_{n-1}}{2^{n-1}},n\in\mathbb N^*,\]则每一个有序数组\[\left(x_1,x_2,\cdots,x_m\right)\]对应一个 $a_m$，这样的有序数组有 $2^m$ 个（因为每一位均为 $1$ 或 $-1$）．因此只需要证明不同的有序数组对应的数列 $\{a_n\}$ 中的第 $m$ 项必然不同．设\[\begin{split}
\left(x_1,x_2,\cdots,x_m\right)\to a_m,\\
\left(x_1',x_2',\cdots,x_m'\right)\to a_m',\end{split}\]则\[a_m-a_m'=\left(x_m-x_m'\right)\cdot 2^{m-1} +\cdots+\left(x_1-x_1'\right)\cdot 2^0,\]设两个有序数组从第 $m$ 位计算第一处不一致的位置为第 $p$ 位，那么考虑到\[\begin{split}\left|x_p-x_p'\right|\cdot 2^{p-1}&=2^p\\
&>2^{p-1}+2^{p-2}+\cdots+2^1,\\
&\geqslant \left|x_{p-1}-x_{p-1}'\right|\cdot 2^{p-2}+\left|x_{p-2}-x_{p-2}'\right|\cdot 2^{p-3}+\cdots+\left|x_1-x_1'\right|\cdot 2^0,\end{split}\]因此 $x_m-x_m'$ 的符号由 $x_p-x_p'$ 决定，进而 $x_m\ne x_m'$．这样就证明了有序数对与数列一一对应．因此 $a_m$ 的所有可能取值是\[\left\{2k-1\mid -2^{m-1}<k\leqslant 2^{m-1},k\in\mathbb Z\right\}.\]
答案
解析
备注
