对于 $2n$ 个素数组成的集合 $M=\{p_1,p_2,\cdots,p_{2n}\}$，将其元素两两搭配成 $n$ 个乘积，得到一个 $n$ 元集，如果 $A=\{a_1a_2,a_3a_4,\cdots,a_{2n-1}a_{2n}\}$ 与 $B=\{b_1b_2,b_3b_4,\cdots,b_{2n-1}b_{2n}\}$ 是由此得到的两个 $n$ 元集，其中 $\{a_1,a_2,\cdots,a_{2n}\}=\{b_1,b_2,\cdots,b_{2n}\}=M$，且 $A \cap B=\varnothing$，就称集合对 $\{A,B\}$ 是由 $M$ 炮制成的一幅“对联”．（例如当 $n=2$ 时，由四元集 $\{a,b,c,d\}$ 可以炮制成三幅“对联”：$\{ab,cd\}\sim \{ac,bd\}$，$\{ab,cd\}\sim \{ad,bc\}$，$\{ac,bd\}\sim \{ad,bc\}$）．
当 $n=3$ 时，求 $6$ 元素数集 $M=\{a,b,c,d,e,f\}$ 所能炮制成的“对联”数．
当 $n=3$ 时，求 $6$ 元素数集 $M=\{a,b,c,d,e,f\}$ 所能炮制成的“对联”数．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$60$
【解析】
$6$ 个元素可以形成 $15$ 个不同的“字条”，列出如下：\[\begin{split} &\{ab,cd,ef\},\{ab,ce,df\},\{ab,cf,de \},\\ &\{ac,bd,ef\},\{ac,be,df\},\{ac,bf,de \},\\&\{ad,bc,ef\},\{ad,be,cf\},\{ad,bf,ce \},\\&\{ae,bc ,df\},\{ae,bd,cf\},\{ae,bf,cd\},\\&\{af,bc,de\},\{af,bd,ce\},\{af,be,cd\}, \end{split}\]将位于第 $i$ 行、第 $j$ 列交叉处的“字条”看作一个坐标点，记为 $(i,j)$．
对于第一行的 $(1,1)$，它与下面每行各有两个搭配，共得 $4\times 2=8$ 个搭配，如下：\[\begin{split} &(1,1)\sim (2,2) ,(1,1)\sim (2,3);\\ &(1,1)\sim (3,2) ,(1,1)\sim (3,3);\\&(1,1)\sim (4,1) ,(1,1)\sim (4,2);\\&(1,1)\sim (5,1) ,(1,1)\sim (5,2). \end{split}\]类似地，点 $(1,2)$ 及 $(1,3)$ 与下面四行的点也各有 $8$ 个搭配，于是第一行的三个点与下面四行的点共形成 $3\times 4\times 2=24$ 个搭配；
第二行的每个点与下面每行的点也各有两个搭配，共得 $3\times 3\times 2=18$ 个搭配；
第三行的每个点与下面每行的点也各有两个搭配，共得 $3\times 2\times 2=12$ 个搭配；
第四行的每个点与下面每行的点也各有两个搭配，共得 $3\times 1\times 2=6$ 个搭配．
因此搭配数为$$6\times (1+2+3+4)=60,$$即由集合 $M$ 可炮制出 $60$ 幅“对联”．
对于第一行的 $(1,1)$，它与下面每行各有两个搭配，共得 $4\times 2=8$ 个搭配，如下：\[\begin{split} &(1,1)\sim (2,2) ,(1,1)\sim (2,3);\\ &(1,1)\sim (3,2) ,(1,1)\sim (3,3);\\&(1,1)\sim (4,1) ,(1,1)\sim (4,2);\\&(1,1)\sim (5,1) ,(1,1)\sim (5,2). \end{split}\]类似地，点 $(1,2)$ 及 $(1,3)$ 与下面四行的点也各有 $8$ 个搭配，于是第一行的三个点与下面四行的点共形成 $3\times 4\times 2=24$ 个搭配；
第二行的每个点与下面每行的点也各有两个搭配，共得 $3\times 3\times 2=18$ 个搭配；
第三行的每个点与下面每行的点也各有两个搭配，共得 $3\times 2\times 2=12$ 个搭配；
第四行的每个点与下面每行的点也各有两个搭配，共得 $3\times 1\times 2=6$ 个搭配．
因此搭配数为$$6\times (1+2+3+4)=60,$$即由集合 $M$ 可炮制出 $60$ 幅“对联”．
答案
解析
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