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定义函数 $f(x)=[x[x]]$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，当 $x\in[0,n)$，其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 时，设函数 $f(x)$ 的值域为 $A$，记集合 $A$ 中的元素个数为 $a_n$，则式子 $\dfrac{a_n+90}{n}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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【答案】
$13$
【解析】
情形一 当 $x\in[0,1)$，$$[x[x]]=0,$$此时这一段上有 $1$ 个元素在集合 $A$ 中；
情形二 当 $x\in[i,i+1)$（$i=1,2\cdots,n-1$）时，$$i^2\leqslant[x[x]]<i(i+1),$$此时这一段上有 $i$ 个元素在集合 $A$ 中；
综上可得$$a_n=1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}{i}=\dfrac{n(n-1)}{2}+1,$$因此，有$$\dfrac{a_n+90}{n}=\dfrac{n}{2}+\dfrac{91}{n}-\dfrac12,$$故当 $n=13$ 或 $n=14$ 时，$\dfrac{a_n+90}{n}$ 有最小值为 $13$．
题目 答案 解析 备注
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