一个数字生成器，生成规则如下：第 $1$ 次生成一个数 $x$，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数 $x$ 生成两个数，一个是 $-x$，另一个是 $x+3$．设第 $n$ 次生成的数的个数为 $a_n$，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=$ ；若 $x=1$，前 $n$ 次生成的所有数中不同的数的个数为 $T_n$，则 $T_n=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2^n-1$；$\begin{cases} \dfrac 12n(n+1),&n\leqslant 4,\\ 4n-6,& n\geqslant 5.\end{cases}$
【解析】
关键是证明当 $n\geqslant 5$ 时，$T_n-T_{n-1}=4$．记 $P$ 为取相反数的操作，$Q$ 为加 $3$ 的操作，例如用 $PQQ$ 来表示数字 $5$ 的生成操作，简记为 $PQ^2$．
$(1)$ 容易知道第 $n$（$n\geqslant 2$）次生成数字后，所产生的数字在区间 $\left[Q^{n-2}P,Q^{n-1}\right]$ 内，即为 $[-3n+5,3n-2]$ 内．也就是说每次操作最多在两端各自新生成 $3$ 个连续整数．
$(2)$ 由于 $1$ 模 $3$ 余 $1$，而 $P,Q$ 操作都不能使得该操作数由不能被 $3$ 整除的数变为能被 $3$ 整除的，所以每次操作最多新产生 $4$ 个数；
$(3)$ 在第 $n$ 次生成数字后，会在两端产生新数字 $Q^{n-2}P$ 和 $Q^{n-1}$；接下来证明 $PQ^{n-2}$ 和 $PQ^{n-3}P$ 也是新数字：
首先，若一个数可以通过 $k$（$k<n-1$）次 $P$ 或 $Q$ 操作生成，那么它必然不在新生成的数字之列；
其次，对于 $n-2$ 次 $P$ 或 $Q$ 操作来说，$PQ^{n-3}$ 是所能生成的除 $Q^{{n-2}}$ 外的最大的数，因此 $PQ^{n-3}Q$ 和 $PQ^{n-3}P$ 分别是 $n-1$ 次 $P$ 或 $Q$ 操作所能产生的除 $Q^{n-1}$ 和 $Q^{n-2}P$ 以外的最大的数和最小的数．
综上所述，结论得证．
$(1)$ 容易知道第 $n$（$n\geqslant 2$）次生成数字后，所产生的数字在区间 $\left[Q^{n-2}P,Q^{n-1}\right]$ 内，即为 $[-3n+5,3n-2]$ 内．也就是说每次操作最多在两端各自新生成 $3$ 个连续整数．$(2)$ 由于 $1$ 模 $3$ 余 $1$，而 $P,Q$ 操作都不能使得该操作数由不能被 $3$ 整除的数变为能被 $3$ 整除的，所以每次操作最多新产生 $4$ 个数；
$(3)$ 在第 $n$ 次生成数字后，会在两端产生新数字 $Q^{n-2}P$ 和 $Q^{n-1}$；接下来证明 $PQ^{n-2}$ 和 $PQ^{n-3}P$ 也是新数字：
首先，若一个数可以通过 $k$（$k<n-1$）次 $P$ 或 $Q$ 操作生成，那么它必然不在新生成的数字之列；
其次，对于 $n-2$ 次 $P$ 或 $Q$ 操作来说，$PQ^{n-3}$ 是所能生成的除 $Q^{{n-2}}$ 外的最大的数，因此 $PQ^{n-3}Q$ 和 $PQ^{n-3}P$ 分别是 $n-1$ 次 $P$ 或 $Q$ 操作所能产生的除 $Q^{n-1}$ 和 $Q^{n-2}P$ 以外的最大的数和最小的数．
综上所述，结论得证．
题目
答案
解析
备注
