给定集合 $A_n=\{1,2,3,\cdots ,n\}$，映射 $f:A_n\to A_n$ 满足：
① 当 $i,j\in A_n$，$i\ne j$ 时，$f(i)\ne f(j)$；
② 任取 $m\in A_n$，若 $m\geqslant 2$，则有 $m\in \left\{f(1),f(2),\cdots ,f(m)\right\}$．
则称映射 $f:A_n\to A_n$ 是一个优映射．
$(1)$ 当 $n=4$ 时，若 $f(2)=3$，写出一个符合条件的优映射：$f(1)=$ ，$f(3)=$ ；
$(2)$ 若映射 $f:A_{2010}\to A_{2010}$ 是优映射，且 $f(1004)=1$，则 $f(1000)+f(1007)$ 的最大值为 ；
$(3)$ 若映射 $f:A_{10}\to A_{10}$ 是优映射，且方程 $f(x)=x$ 的解恰有 $6$ 个，则这样的优映射的个数是 ．
① 当 $i,j\in A_n$，$i\ne j$ 时，$f(i)\ne f(j)$；
② 任取 $m\in A_n$，若 $m\geqslant 2$，则有 $m\in \left\{f(1),f(2),\cdots ,f(m)\right\}$．
则称映射 $f:A_n\to A_n$ 是一个优映射．
$(1)$ 当 $n=4$ 时，若 $f(2)=3$，写出一个符合条件的优映射：$f(1)=$
$(2)$ 若映射 $f:A_{2010}\to A_{2010}$ 是优映射，且 $f(1004)=1$，则 $f(1000)+f(1007)$ 的最大值为
$(3)$ 若映射 $f:A_{10}\to A_{10}$ 是优映射，且方程 $f(x)=x$ 的解恰有 $6$ 个，则这样的优映射的个数是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2,1$（或 $2,4$）；$2011$；$84$
【解析】
$(1)$ 由题意知 $2\in\{f(1),f(2)\}$，所以 $f(1)=2$．
$(2)$ 若 $f(k)=1$，则当 $i=k+1,\cdots ,n$ 时，有 $f(i)=i$．于是 $f(1007)=1007$，而 $f(1000)\leqslant 1004$．
$(3)$ 一个优映射实际上是由一个 $k$ 列错位排列$$f(x_i)=\begin{cases} x_{i+1},&i=1,2,\cdots ,k-1,\\ x_1,&i=k,\end{cases}$$再穿插 $n-k$ 列等列（即 $f(x)=x$ 的列）组成．注意到第一列不能为等列，因此所求的优映射共有 ${\rm C}_9^6=84$ 个．
$(2)$ 若 $f(k)=1$，则当 $i=k+1,\cdots ,n$ 时，有 $f(i)=i$．于是 $f(1007)=1007$，而 $f(1000)\leqslant 1004$．
$(3)$ 一个优映射实际上是由一个 $k$ 列错位排列$$f(x_i)=\begin{cases} x_{i+1},&i=1,2,\cdots ,k-1,\\ x_1,&i=k,\end{cases}$$再穿插 $n-k$ 列等列（即 $f(x)=x$ 的列）组成．注意到第一列不能为等列，因此所求的优映射共有 ${\rm C}_9^6=84$ 个．
题目
答案
解析
备注
