在坐标平面内，横纵坐标都是正数的点称为格点．一个质点从原点出发走 $5$ 步，每一步走一个单位长度到达相邻的一个格点（每个格点可重复经过），则它能到达的不同地点有 个；它从原点到达点 $(4,1)$ 的不同路径有 种．
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$36$；$5$
【解析】
定义格点 $P(a,b)$ 到原点的折线距离\[d(P)=|a|+|b|.\]根据题意，每一步 $d(P)$ 的奇偶性都会变化（或者 $a$ 变化 $1$，或者 $b$ 变化 $1$），因此最终到达的位置对应的 $d(P)$ 必然是奇数，因此所能达到的点的集合为\[\{ P\mid d(P)=1,3,5\},\]如图．
于是能到达的不同地点数为\[4(1+3+5)=36.\]从原点到达点 $(4,1)$ 必然为 $4$ 次向右移动和 $1$ 次上移动，于是不同的移动次序有 $5$ 种，对应不同路径也为 $5$ 种．
于是能到达的不同地点数为\[4(1+3+5)=36.\]从原点到达点 $(4,1)$ 必然为 $4$ 次向右移动和 $1$ 次上移动，于是不同的移动次序有 $5$ 种，对应不同路径也为 $5$ 种．
题目
答案
解析
备注
