求 $(1+x)^{2016}$ 的展开式中不能被 $7$ 整除的系数的个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$84$
【解析】
即组合数 ${\mathrm C}_m^n$ 中当 $m=2016$，$n=0,1,2,\cdots ,2016$ 时，满足 $7\nmid {\mathrm C}_m^n$ 的个数．
考虑一般情形 由于 ${\mathrm C}_m^n=\dfrac{m!}{(m-n)!n!}$，将满足 $\lambda^p \mid\mid k!$（$k\in \mathbb N$，$\lambda$ 是素数）的 $p$ 记作 $f_\lambda (k)$．将 $k$ 写成 $\lambda $ 进制数，记为$$k_{(\lambda)}=\overline{x_rx_{r-1}\cdots x_2x_1x_0},$$那么$$f_{\lambda}(k)=\overline{x_rx_{r-1}\cdots x_2x_1}+\overline{x_rx_{r-1}\cdots x_2}+\cdots +\overline{x_rx_{r-1}}+\overline{x_r},$$因此 ${\mathrm C}_m^n$ 能否被 $\lambda$ 整除取决于$$F_m(n)=f_{\lambda}(m)-f_{\lambda}(m-n)-f_{\lambda}(n)$$是正整数还是零．容易知道，当 $m_{(\lambda)}$ 减去 $n_{(\lambda)}$ 时，若没有借位（即 $n$ 在每一位上的数字都不大于 $m$ 在对应数位上的数字），那么 $F_m(n)=0$，此时 $\lambda \nmid {\mathrm C}_m^n$；若有借位，那么 $F_m(n)>0$，此时 $\lambda \mid {\mathrm C}_m^n$．
回到本题 由于 $2016=5610_{(7)}$，因此所有不能被 $7$ 整除的组合数的个数为 $6\cdot 7\cdot 2=84$（即：首位有 $0,1,2,\cdots,5$ 共 $6$ 种可能，第二位有 $7$ 种可能，第三位有 $2$ 种可能，最后一位有 $1$ 种可能）．
答案
解析
备注
