一个数字生成器，生成规则如下：第 $1$ 次生成一个数 $x$，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数 $x$ 生成两个数，一个是 $-x$，另一个是 $x+3$．设第 $n$ 次生成的数的个数为 $a_n$，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=$ ；若 $x=1$，前 $n$ 次生成的所有数中不同的数的个数为 $T_n$，则 $T_n=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2^n-1$；$\begin{cases} \dfrac 12n(n+1),&n\leqslant 4,\\ 4n-6,& n\geqslant 5.\end{cases}$
【解析】
关键是证明当 $n\geqslant 5$ 时，$T_n-T_{n-1}=4$．我们把每次生成过程中产生新的数的分支称为“有价值的”，可以发现规律：当 $n\geqslant 4$ 时，所有左支在贡献一次价值之后就无法带来任何价值了．
我们可以用这种方法选出所有有价值的分支：每个新生节点（代表一个新生成的数）每发一次芽（也就是生成两个新数）后马上把它的左支砍掉．这样做的结果就是每次操作都生成 $4$ 个新数，而这 $4$ 个新数中只有 $2$ 个有“繁殖”能力，它们能在下次操作用生成另外 $4$ 个新数，这样我们就得到了通项公式．
通过这种方法，很显然“被砍掉”的数都是无价值的，下面证明新生成的数都是有价值的．
可以写出第 $n$（$n\geqslant 4$）次操作后新生成的 $4$ 个数的通项公式：$$10-3n,3n-7,5-3n,3n-2.$$如果 $10-3n$ 没有价值，设它第一次出现时对应的操作数为 $m$（$0<m<n$），则 $10-3n$ 是以下 $4$ 个数之一：$$10-3m,3m-7,5-3m,3m-2,$$于是以下 $4$ 个等式之一成立：$$m=n,3(m+n)=17,3(n-m)=5,m+n=4,$$矛盾．因此 $10-3n$ 有价值．类似的可以证明 $3n-7,5-3n,3n-2$ 也有价值．
我们可以用这种方法选出所有有价值的分支：每个新生节点（代表一个新生成的数）每发一次芽（也就是生成两个新数）后马上把它的左支砍掉．这样做的结果就是每次操作都生成 $4$ 个新数，而这 $4$ 个新数中只有 $2$ 个有“繁殖”能力，它们能在下次操作用生成另外 $4$ 个新数，这样我们就得到了通项公式．通过这种方法，很显然“被砍掉”的数都是无价值的，下面证明新生成的数都是有价值的．
可以写出第 $n$（$n\geqslant 4$）次操作后新生成的 $4$ 个数的通项公式：$$10-3n,3n-7,5-3n,3n-2.$$如果 $10-3n$ 没有价值，设它第一次出现时对应的操作数为 $m$（$0<m<n$），则 $10-3n$ 是以下 $4$ 个数之一：$$10-3m,3m-7,5-3m,3m-2,$$于是以下 $4$ 个等式之一成立：$$m=n,3(m+n)=17,3(n-m)=5,m+n=4,$$矛盾．因此 $10-3n$ 有价值．类似的可以证明 $3n-7,5-3n,3n-2$ 也有价值．
题目
答案
解析
备注
