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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15570 595737d9d3b4f900086c44d8 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b$ 均为正实数，且 $a^4+b^2=5$，求 $a+b$ 的最大值． 2022-04-17 19:51:14
15568 59574937d3b4f90007b6fcf4 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\dfrac{2x}{ax+b}$，$f(1)=1$，$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac23$，令 $x_1=\dfrac12$，$x_{n+1}=f(x_n)$． 2022-04-17 19:50:14
15567 5957ba13d3b4f90007b6fd54 高中 解答题 高中习题 已知 $O$ 为锐角三角形 $ABC$ 的外心，$A=\dfrac{\pi}3$，且 $\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$，求 $2x-y$ 的取值范围． 2022-04-17 19:50:14
15566 5959d92ad3b4f900095c6751 高中 解答题 高中习题 已知 $\ln a-\ln 3=\ln c$，$bd=-3$，求 $(a-b)^2+(c-d)^2$ 的最小值． 2022-04-17 19:50:14
15557 595f24af815115000a492f98 高中 解答题 自招竞赛 设 $0 < {x_1},{x_2} , \cdots , {x_n} < 1$，且 ${x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n} = 1$ $\left(n\geqslant 2\right)$．求证：$\dfrac{1}{{{x_1} - x_1^3}} + \dfrac{1}{{{x_2} - x_2^3}} + \cdots + \dfrac{1}{{{x_n} - x_n^3}} > 4$． 2022-04-17 19:45:14
15415 597e850fd05b9000091650ad 高中 解答题 高中习题 设函数 $f(x)=1-\mathrm e^{-x}$．设当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\leqslant \dfrac x{ax+1}$，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 19:28:13
15410 597e9767d05b900009165165 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{2}{{3 \cdot {2^k}+2}}}<\dfrac{4}{7}$． 2022-04-17 19:25:13
15404 597ec5e2d05b90000916526e 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中，${a_1}=\dfrac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\sin \left( {\dfrac{{\rm{\pi }}}{2}{a_n}} \right)$． 2022-04-17 19:22:13
15403 597ed2f8d05b9000091652c0 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_0}=\dfrac{1}{2}$，${a_n}={a_{n-1}}+\dfrac{1}{{{n^2}}} \cdot a_{n-1}^2$，求证：$\dfrac{{n+1}}{{n+2}}<{a_n}<n$． 2022-04-17 19:21:13
15402 597ed464d05b90000c805930 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 单调递增，${a_1}=2$，$\dfrac{{{a_{2n}}}}{{{a_n}}} \leqslant 1+\dfrac{1}{n}$，求证：$a_n\leqslant 12$． 2022-04-17 19:21:13
15378 5989177e5ed01a000ba75ca3 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 是不全为 $0$ 的实数，求 $F=\dfrac{ab-bc+c^{2}}{a^{2}+2b^{2}+3c^{2}}$ 的取值范围．$a,b,c$ 分别满足什么条件时，$F$ 取最大值与最小值？ 2022-04-17 19:06:13
15377 598917ec5ed01a000ba75cca 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac{12}{11}$，$a_{n+1}=\dfrac{4a_n}{2a_n+1}$，$n=1,2,\cdots$． 2022-04-17 19:05:13
15323 59b62304b049650007282ff3 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，$S$ 是 $\triangle ABC$ 的面积，求证：$ab+bc+ca\geqslant 4\sqrt 3S$． 2022-04-17 19:37:12
15322 59b7323cb049650007283188 高中 解答题 自招竞赛 设复数 $z_1,z_2$ 满足 ${\rm Re}(z_1)>0,{\rm Re}(z_2)>0$，且 ${\rm Re}(z_1^2)={\rm Re}(z_2^2)=2$，其中 ${\rm Re}(z)$ 表示复数 $z$ 的实部． 2022-04-17 19:37:12
15316 59ba35d398483e0009c730fe 高中 解答题 高中习题 已知 $a_0=\dfrac 12$，$a_k=a_{k-1}+\dfrac 1na_{k-1}^2$（$k=1,2,\cdots,n$），求证：$1-\dfrac 1n<a_n<1$． 2022-04-17 19:33:12
15313 59ba41b698483e000a5244cb 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^2}$（$n\in\mathbb N$）． 2022-04-17 19:32:12
15303 59c0d4c0f14e16000838933e 高中 解答题 高中习题 已知 $P$ 为三角形 $ABC$ 的费马点，记 $PA$，$PB$，$PC$ 的长为 $x$，$y$，$z$，三角形的边长为 $a$，$b$，$c$．求证：\[(x+y+z)^2\leqslant ab+bc+ca.\] 2022-04-17 19:27:12
15300 59cbb75f1d3b200007f98ec9 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=2+\dfrac n{a_n}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$1+\sqrt n\leqslant a_n <1+\sqrt{n+1}$． 2022-04-17 19:26:12
15059 5e574321210b280d37822388 高中 解答题 高考真题 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n,a_3=4,a_4=S_3$．数列 $\{b_n\}$ 满足：对每个 $n\in\mathbb{N}^{\ast},S_n+b_n,S_{n+1}+b_n,S_{n+2}+b_n$ 成等比数列．
（I）求数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的通项公式；
（II）记 $c_n=\sqrt{\dfrac{a_n}{2b_n}},n\in\mathbb{N}^{\ast}$，证明：$c_1+c_2+\cdots+c_n<2\sqrt{n},n\in\mathbb{N}^{\ast}$．		 2022-04-17 19:15:10
15015 6007a7a48874860009b91f2c 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，三条直线 $l_1,l_2,l_3$ 两两平行，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的距离为 $p$，直线 $l_2$ 与 $l_3$ 的距离为 $\frac{p}{2}$．$A,B$ 是直线 $l_1$ 上的两个定点，且 $|AB|=2p$．$M,N$ 是直线 $l_2$ 上的两个动点，且 $|MN|=2p$．设 $\triangle AMN$ 的外心为 $C$，点 $C$ 到直线 $l_3$ 的距离为 $d$．试求 $d+|BC|$ 的最小值． 2022-04-17 19:48:09
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