查看数据源：5957ba13d3b4f90007b6fd54
已知 $O$ 为锐角三角形 $ABC$ 的外心，$A=\dfrac{\pi}3$，且 $\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$，求 $2x-y$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    平面向量
    >
    平面向量
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的线性表示
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量中的常用知识
    >
    三角形外心的向量表达
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
【答案】
$(-2,1)$
【解析】
设 $BD$ 和 $CE$ 为圆 $O$ 的直径，则点 $A$ 在劣弧 $DE$ 上运动，于是$$\overrightarrow {OA}=(-x)\overrightarrow{OD}+(-y)\overrightarrow{OE},x<0,y<0.$$根据外心向量表达，有$$\sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,$$于是将已知条件整理为$$\dfrac{\sqrt 3}2\overrightarrow{OA}-\dfrac{\sqrt 3}2x\overrightarrow{OB}-\dfrac{\sqrt 3}2y\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,$$从而可得$$x=-\dfrac{2}{\sqrt 3}\sin 2B,y=-\dfrac{2}{\sqrt 3}\sin 2C.$$根据题意，有 $2C=\dfrac{4\pi}3-2B$．记 $2B=\theta$，则 $\theta\in\left(\dfrac{\pi}3,\pi\right)$．欲求代数式\[\begin{split} 2x-y&=-\dfrac{4}{\sqrt 3}\sin 2B+\dfrac{2}{\sqrt 3}\sin 2C \\ &=-\dfrac{4}{\sqrt 3}\sin \theta+\dfrac{2}{\sqrt 3}\sin\left(\dfrac{4\pi}3-\theta\right) \\ &=-2\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}6\right),\end{split}\]由 $\theta$ 的取值范围不难得到 $2x-y$ 的取值范围是 $(-2,1)$．
答案 解析 备注
0.110876s