设函数 $f(x)=1-\mathrm e^{-x}$．设当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\leqslant \dfrac x{ax+1}$，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[0,\dfrac 12\right]$
【解析】
由第II类端点分析，可得 $a=0$ 或 $\dfrac 1a\geqslant 1$，于是得到必要条件 $0\leqslant a\leqslant 1$．
否则，若 $a<0$，则取 $x=-\dfrac 1a+1$，则$$\dfrac{x}{ax+1}<0<1-{\rm e}^{-x},$$矛盾．
若 $a>1$，则取 $x=\ln\dfrac{a}{a-1}$，则$$\dfrac{x}{ax+1}<\dfrac 1a=1-{\rm e}^{-x},$$矛盾．
因此原命题等价于$$\forall x\geqslant 0,\dfrac{{\rm e}^x-1}{{\rm e}^x}\cdot (ax+1)\leqslant x,$$即$$\forall x\geqslant 0,{\rm e}^x\left[(1-a)x-1\right]+ax+1\geqslant 0.$$记左侧函数为 $h(x)$，注意到 $h(0)=0$，而其导函数$$h'(x)={\rm e}^x\left[(1-a)x-a\right]+a.$$又 $h'(0)=0$，而其导函数$$h'^\prime (x)={\rm e}^x\left[(1-a)x+1-2a\right],$$于是$$h'^\prime(0)=1-2a \geqslant 0,$$从而$$0\leqslant a\leqslant \dfrac 12.$$若不然，$a>\dfrac 12$ 时，设 $\xi=\dfrac{2a-1}{1-a}$．
考虑区间 $\left[0,\xi\right]$，在该区间区间 $\left[0,\xi\right]$ 上，$h'^\prime (x)\leqslant 0$，于是 $h'(x)$ 单调递减．
又 $h'(0)=0$，于是在区间区间 $\left[0,\xi\right]$ 上 $h'(x)<0$，从而在区间 $\left[0,\xi\right]$ 上 $h(x)$ 单调递减．又 $h(0)=0$，于是 $h(\xi)<0$，矛盾．
下面证明 $0\leqslant a\leqslant \dfrac 12$ 的充分性．
当 $0\leqslant a \leqslant \dfrac 12$ 时，$$h'^\prime (x)={\rm e}^x\cdot (1-a)\cdot\left(x+\dfrac{1-2a}{1-a}\right)$$对任意 $x \geqslant 0$ 均不小于 $0$，于是在区间 $[0,+\infty )$ 上，$h'(x)$ 单调递增．又 $h'(0)=0$，于是 $h'(x)\geqslant 0$，进而 $h(x)$ 单调递增，于是 $h(x)\geqslant 0$，命题成立．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 12\right]$．
否则，若 $a<0$，则取 $x=-\dfrac 1a+1$，则$$\dfrac{x}{ax+1}<0<1-{\rm e}^{-x},$$矛盾．
若 $a>1$，则取 $x=\ln\dfrac{a}{a-1}$，则$$\dfrac{x}{ax+1}<\dfrac 1a=1-{\rm e}^{-x},$$矛盾．
因此原命题等价于$$\forall x\geqslant 0,\dfrac{{\rm e}^x-1}{{\rm e}^x}\cdot (ax+1)\leqslant x,$$即$$\forall x\geqslant 0,{\rm e}^x\left[(1-a)x-1\right]+ax+1\geqslant 0.$$记左侧函数为 $h(x)$，注意到 $h(0)=0$，而其导函数$$h'(x)={\rm e}^x\left[(1-a)x-a\right]+a.$$又 $h'(0)=0$，而其导函数$$h'^\prime (x)={\rm e}^x\left[(1-a)x+1-2a\right],$$于是$$h'^\prime(0)=1-2a \geqslant 0,$$从而$$0\leqslant a\leqslant \dfrac 12.$$若不然，$a>\dfrac 12$ 时，设 $\xi=\dfrac{2a-1}{1-a}$．
考虑区间 $\left[0,\xi\right]$，在该区间区间 $\left[0,\xi\right]$ 上，$h'^\prime (x)\leqslant 0$，于是 $h'(x)$ 单调递减．
又 $h'(0)=0$，于是在区间区间 $\left[0,\xi\right]$ 上 $h'(x)<0$，从而在区间 $\left[0,\xi\right]$ 上 $h(x)$ 单调递减．又 $h(0)=0$，于是 $h(\xi)<0$，矛盾．
下面证明 $0\leqslant a\leqslant \dfrac 12$ 的充分性．
当 $0\leqslant a \leqslant \dfrac 12$ 时，$$h'^\prime (x)={\rm e}^x\cdot (1-a)\cdot\left(x+\dfrac{1-2a}{1-a}\right)$$对任意 $x \geqslant 0$ 均不小于 $0$，于是在区间 $[0,+\infty )$ 上，$h'(x)$ 单调递增．又 $h'(0)=0$，于是 $h'(x)\geqslant 0$，进而 $h(x)$ 单调递增，于是 $h(x)\geqslant 0$，命题成立．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 12\right]$．
答案
解析
备注
