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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20422 5c9c2c75210b280b2397e9e2 高中 解答题 自招竞赛 Kathy有 $5$ 张红色牌和 $5$ 张绿色牌。她将这 $10$ 张牌洗牌打乱后随机抽取 $5$ 张排成一排。当且仅当抽取出的牌中所有红色牌依次相邻，所有绿色牌也依次相邻时，Kathy对于抽取排列的结果是满意的。例如，用 $R$ 代表红牌，$G$ 代表绿牌，则 $RRGGG,GGGGG,RRRRR$ 都是令Kathy满意的结果，而 $RRRGR$ 就不是。Kathy对结果满意的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:39:59
20401 5c9c34ea210b280b2397ea5e 高中 解答题 自招竞赛 Misha不断扔一枚标准均匀的 $6$ 面骰子直到她连续依次扔出 $1,2,3$ 。她扔骰子总次数为奇数的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:28:59
20393 5c9d80f5210b280b2397eb3d 高中 解答题 自招竞赛 Sandy在抽屉里放了5双颜色不同的袜子。周一她从随机从中拿出两只袜子。周二她从剩余的8只袜子中随机拿出两只。周三她从剩余的6只袜子中随机拿出两只。Sandy周三才第一次拿到一双匹配的袜子的概率为 ${m \over n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。 2022-04-17 19:23:59
20386 5c9d8104210b280b2397eb5e 高中 解答题 自招竞赛 $\{ 1,2,3, \cdots ,2015\} $ 的所有1000元子集的最小元素的平均值为 ${p \over q}$，其中 $p$，$q$ 为互质的正整数。求 $p +q$ 。 2022-04-17 19:20:59
20003 5ccf981a210b280220ed28a5 高中 解答题 自招竞赛 已知由甲，乙两位男生和丙，丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动．活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是 $\dfrac{5}{6},\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{4},\dfrac{2}{3}$，女生闯过一至四关的概率依次是 $\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{4},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{2}$． 2022-04-17 19:41:55
19989 5cd51ce7210b280220ed2c25 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $n$ 都可以唯一表示为 $n=a_0+a_1\cdot 9+a_2\cdot 9^2+\cdots+a_m\cdot 9^m$ ① 的形式，其中 $m$ 为非负整数，$a_j\in\{0,1,\cdots,8\}(j=0,1,\cdots,m-1),a_m\in\{1,\cdots,8\}$．试求 ① 中的数列 $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_m$ 严格单调递增或严格单调递减的所有正整数 $n$ 的和． 2022-04-17 19:34:55
19318 5c6b70b0210b281db9f4c85e 高中 解答题 自招竞赛 一生物学家想要计算一个湖中鱼的条数，在5月1日，她随机地捕捉60条鱼，并对它们作了标记后放回湖中．在9月1日，她再随机地捕捉70条鱼，发现其中3条鱼是有标记的．为了计算5月1日这湖中鱼的条数，她假定5月1日湖中鱼的 $25\%$ 到9月1日已不在湖中（由于死亡和迁出），9月1日湖中鱼的 $40\%$ 5月1日并不在湖中（由于出生和迁入），而且9月1日抽样所得的无标记及有标记的鱼数是有代表性的，这位生物学家算出的5月1日湖中鱼数是多少？ 2022-04-17 19:34:49
19038 5c6f633e210b2801505273eb 高中 解答题 自招竞赛 位于 $\vartriangle ABC$ 内的点 $P$ 使得 $\angle PAB$，$\angle PBC$ 及 $\angle PCA$ 全相等．$\vartriangle ABC$ 三边长 $AB=13$，$BC=14$ 及 $CA=15$，且 $\angle PAB$ 的正切为 $\dfrac{m}{n}$，这里 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 19:02:47
17420 590976fe39f91d000a7e44e9 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_0=1$，$b_0=0$，且$$\begin{cases} a_{n+1}=7a_n+6b_n-3,\\ b_{n+1}=8a_n+7b_n-4,\end{cases}$$其中 $n=0,1,2,\cdots $．求证：$a_n$ 是完全平方数． 2022-04-17 19:09:32
17269 5989177e5ed01a000ba75ca4 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{n}=\dfrac{(1+a_{n-1})^{2}}{a_{n-2}},n\geqslant 3$． 2022-04-17 19:47:30
17185 5e65bb3c210b280d3782255e 高中 解答题 高考真题 为了了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验．将 $200$ 只小鼠随机分成 $A,B$ 两组，每组 $100$ 只，其中 $A$ 组小鼠给服甲离子溶液，$B$ 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同．经过一段时间启用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：
记 $C$ 为事件："乙离子残留在体内的百分比不低于 $5.5$ "，根据直方图得到的 $P(C)$ 的估计值为 $0.70$．
（1）求乙离子残留百分比直方图中 $a,b$ 的值；
（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．		 2022-04-17 19:59:29
17176 5e61b332210b280d36111796 高中 解答题 高考真题 某行业主管部门为了解本行业中小企业的情况，随机调查了 $100$ 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 $y$ 的频数分布表．\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline y\text{的分组}&[-0.20,0)&[0,0.20)&[0.20,0.40)&[0.40,0.60)&[0.60,0.80)\\\hline \text{企业数}&2&24&53&14&7\\\hline\end{array}\]（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 $40\%$ 的企业比例，产值负增长二的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到 $0.01$）		 2022-04-17 19:54:29
17171 5e5f1b26210b280d361116ee 高中 解答题 高考真题 某商场为提高服务质量，随机调查了 $50$ 名男顾客和 $50$ 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面的联表：\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline &\text{满意}&\text{不满意}\\\hline \text{男顾客}&40&10\\\hline \text{女顾客}&30&20\\\hline\end{array}\]（1）分别估计男，女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有 $95\%$ 的把握认为男，女顾客对该商场服务的评价有差异？		 2022-04-17 19:50:29
17164 5e5c70aa210b280d378223f8 高中 解答题 高考真题 $2019$ 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育，继续教育，大病医疗，住房贷款利息或者住房佣金，赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老，中，青员工分别有 $72,108,120$ 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 $25$ 人调查专项附加扣除的享受情况．
（I）应从老，中，青员工中分别抽取多少人？
（II）抽取的 $25$ 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 $6$ 人，分别记为 $A,B,C,D,E,F$，享受情况如右表，其中“$\bigcirc$”表示享受，“$\times$”表示不享受．现从这 $6$ 个人中随机抽取 $2$ 人接受采访．\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{项目\员工}&A&B&C&D&E&F\\\hline \text{子女教育}&\bigcirc&\bigcirc&\times&\bigcirc&\times&\bigcirc\\\hline \text{继续教育}&\times&\times&\bigcirc&\times&\bigcirc&\bigcirc\\\hline \text{大病医疗}&\times&\times&\times&\bigcirc&\times&\times\\\hline
\text{住房贷款利息}&\bigcirc&\bigcirc&\times&\times&\bigcirc&\bigcirc\\\hline \text{住房租金}&\times&\times&\bigcirc&\times&\times&\times\\\hline \text{赡养老人}&\bigcirc&\bigcirc&\times&\times&\times&\bigcirc\\\hline\end{array}\]（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 $M$ 为事件“抽取的 $2$ 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 $M$ 发生的概率．		 2022-04-17 19:48:29
17151 5e548633210b280d361114c3 高中 解答题 高考真题 设甲，乙两位同学上学期间，每天 $7:30$ 之前到校的概率均为 $\dfrac{2}{3}$．假定甲，乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（I）用 $X$ 表示甲同学上学期间的三天中 $7:30$ 之前到校的天数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．
（II）设 $M$ 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 $7:30$ 之前到校的天数比乙同学在 $7:30$ 之前到校的天数恰好多 $2$”，求事件 $M$ 发生的概率．		 2022-04-17 19:41:29
17144 5e4f4e5c210b280d36111426 高中 解答题 高考真题 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大改变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月 $A,B$ 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 $1000$ 学生中随机抽取了 $100$ 人，发现样本中 $A,B$ 两种支付方式都不使用的有 $5$ 人，样本中仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生的支付金额分布情况如下：\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline\text{支付方式\支付金额(元)}&\text{不大于}2000\text{元}&\text{大于}2000\text{元}\\\hline\text{仅使用}A&27\text{人}&3\text{人}\\\hline\text{仅使用}B&24\text{人}&1\text{人}\\\hline\end{array}\]（I）估计该学生上个月 $A,B$ 两种支付方式都使用的人数；
（II）从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽取 $1$ 人，求该学生上个月支付金额大于 $2000$ 元的概率；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 $B$ 的学生中，随机抽查 $1$ 人，发现他本月的支付金额都大于 $2000$ 元．结合（II）的结果，能否认为样本仅使用 $B$ 的学生中本月支付金额大于 $2000$ 元的人数有变化？说明理由．		 2022-04-17 19:37:29
17138 5e4ca50f210b280d3782218e 高中 解答题 高考真题 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大改变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月 $A,B$ 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 $100$ 人，发现样本中 $A,B$ 两种支付方式都不使用的有 $5$ 人，样本中仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生的支付金额分布情况如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{支付方式\支付金额(元)}&(0,1000]&(1000,2000]&\text{大于}2000\\\hline\text{仅使用}A&18\text{人}&9\text{人}&3\text{人}\\\hline\text{仅使用}B&10\text{人}&14\text{人}&1\text{人}\\\hline\end{array}\]（I）从全校学生中随机抽取 $1$ 人，估计该学生上个月 $A,B$ 两种支付方式都使用的频率；
（II）从样本仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生中各随机抽取 $1$ 人，以 $X$ 表示这 $2$ 人中上个月支付金额大于 $1000$ 元的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 $A$ 的学生中，随机抽查 $3$ 人，发现他们本月的支付金额都大于 $2000$ 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用 $A$ 的学生中本月支付金额大于 $2000$ 元的人数有变化？说明理由．		 2022-04-17 19:34:29
17123 5e4b7a79210b280d3611126d 高中 解答题 高考真题 设 $(1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$．已知 $a_3^2=2a_2a_4$．
（1）求 $n$ 的值；（2）设 $(1+\sqrt{3})^n=a+b\sqrt{3}$，其中 $a,b\in\mathbb{N}^{\ast}$，求 $a^2-3b^2$ 的值．		 2022-04-17 19:26:29
17122 5e4b7b18210b280d37822111 高中 解答题 高考真题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点集 $A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\cdots,(n,0)\},B_n=\{(0,1),(n,1)\}$ $C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\cdots,(n,2)\}$，
令 $M_n=A_n\bigcup B_n\bigcup C_n$．从集合 $M_n$ 中任取两个不同的点，用随机变量 $X$ 表示它们之间的距离．
（1）当 $n=1$ 时，求 $X$ 的概率分布；
（2）对给定的正整数 $n(n\geqslant 3)$，求概率 $P(X\leqslant n)$（用 $n$ 表示）．		 2022-04-17 19:25:29
17117 5e44be7f210b280d361110c0 高中 解答题 高考真题 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分，乙药得 $-1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分，甲药得 $-1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$，一轮试验中甲药的得分记为 $X$．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分，$p_i(i=0,1,\cdots,8)$ 表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0,p_8=1,p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}(i=1,2,\cdots,7)$，其中 $a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)$．假设 $\alpha=0.5,\beta=0.8$．
（i）证明：$\{p_{i+1}-p_i\}(i=0,1,2,\cdots,7)$ 为等比数列；
（ii）求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性．		 2022-04-17 19:23:29
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