改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大改变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月 $A,B$ 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 $100$ 人，发现样本中 $A,B$ 两种支付方式都不使用的有 $5$ 人，样本中仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生的支付金额分布情况如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{支付方式\支付金额(元)}&(0,1000]&(1000,2000]&\text{大于}2000\\\hline\text{仅使用}A&18\text{人}&9\text{人}&3\text{人}\\\hline\text{仅使用}B&10\text{人}&14\text{人}&1\text{人}\\\hline\end{array}\]（I）从全校学生中随机抽取 $1$ 人，估计该学生上个月 $A,B$ 两种支付方式都使用的频率；
（II）从样本仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生中各随机抽取 $1$ 人，以 $X$ 表示这 $2$ 人中上个月支付金额大于 $1000$ 元的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 $A$ 的学生中，随机抽查 $3$ 人，发现他们本月的支付金额都大于 $2000$ 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用 $A$ 的学生中本月支付金额大于 $2000$ 元的人数有变化？说明理由．
（II）从样本仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生中各随机抽取 $1$ 人，以 $X$ 表示这 $2$ 人中上个月支付金额大于 $1000$ 元的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 $A$ 的学生中，随机抽查 $3$ 人，发现他们本月的支付金额都大于 $2000$ 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用 $A$ 的学生中本月支付金额大于 $2000$ 元的人数有变化？说明理由．
【难度】
【出处】
2019年高考北京卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）由题意知，样本中仅使用 $A$ 的学生有 $18+9+3=30$ 人，仅使用 $B$ 的学生有 $10+14+1=25$ 人，$A,B$ 两种支付方式都不使用的学生有 $5$ 人．
故样本中 $A,B$ 两种支付方式都使用的学生有 $100-30-25-5=40$ 人．
所以从全校学生中随机抽取 $1$ 人，该学生上个月 $A,B$ 两种支付方式都使用的概率估计为 $\dfrac{40}{100}=0.4$．
（II）$X$ 的所有可能值为 $0,1,2$．
记事件 $C$ 为“从样本仅使用 $A$ 的学生中随机抽取 $1$ 人，该学生上个月的支付金额大于 $1000$ 元”，事件 $D$ 为“从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽取 $1$ 人，该学生上个月的支付金额大于 $1000$ 元”．
由题设知，事件 $C,D$ 相互独立，且 $P(C)=\dfrac{9+3}{30}=0.4,P(D)=\dfrac{14+1}{25}=0.6$．
所以 $P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24$，
$P(X=1)=P(C\overline{D}\bigcup \overline{C}D)=P(C)P(\overline{D})+P(\overline{C})P(D)=0.4\times (1-0.6)+(1-0.4)\times 0.6=0.52$，
$P(X=0)=P(\overline{CD})=P(\overline{C})P(\overline{D})=0.24$．
所以 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2\\\hline P&0.24&0.52&0.24\\\hline\end{array}\]故 $X$ 的数学期望 $E(X)=0\times 0.24+1\times 0.52+2\times 0.24=1$．
（III）记事件 $E$ 为“从样本仅使用 $A$ 的学生中随机抽查 $3$ 人，他们本月的支付金额都大于 $2000$ 元”．
假设样本仅使用 $A$ 的学生中，本月支付金额大于 $2000$ 元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得 $P(E)=\dfrac{1}{C_{30}^3}=\dfrac{1}{4060}$．
答案示例 $1$：可以认为有变化．理由如下：
$P(E)$ 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于 $2000$ 元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例 $2$：无法确定有没有变化．理由如下：
事件 $E$ 是随机事件，$P(E)$ 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．
故样本中 $A,B$ 两种支付方式都使用的学生有 $100-30-25-5=40$ 人．
所以从全校学生中随机抽取 $1$ 人，该学生上个月 $A,B$ 两种支付方式都使用的概率估计为 $\dfrac{40}{100}=0.4$．
（II）$X$ 的所有可能值为 $0,1,2$．
记事件 $C$ 为“从样本仅使用 $A$ 的学生中随机抽取 $1$ 人，该学生上个月的支付金额大于 $1000$ 元”，事件 $D$ 为“从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽取 $1$ 人，该学生上个月的支付金额大于 $1000$ 元”．
由题设知，事件 $C,D$ 相互独立，且 $P(C)=\dfrac{9+3}{30}=0.4,P(D)=\dfrac{14+1}{25}=0.6$．
所以 $P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24$，
$P(X=1)=P(C\overline{D}\bigcup \overline{C}D)=P(C)P(\overline{D})+P(\overline{C})P(D)=0.4\times (1-0.6)+(1-0.4)\times 0.6=0.52$，
$P(X=0)=P(\overline{CD})=P(\overline{C})P(\overline{D})=0.24$．
所以 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2\\\hline P&0.24&0.52&0.24\\\hline\end{array}\]故 $X$ 的数学期望 $E(X)=0\times 0.24+1\times 0.52+2\times 0.24=1$．
（III）记事件 $E$ 为“从样本仅使用 $A$ 的学生中随机抽查 $3$ 人，他们本月的支付金额都大于 $2000$ 元”．
假设样本仅使用 $A$ 的学生中，本月支付金额大于 $2000$ 元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得 $P(E)=\dfrac{1}{C_{30}^3}=\dfrac{1}{4060}$．
答案示例 $1$：可以认为有变化．理由如下：
$P(E)$ 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于 $2000$ 元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例 $2$：无法确定有没有变化．理由如下：
事件 $E$ 是随机事件，$P(E)$ 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．
答案
解析
备注
