已知正整数 $n$ 都可以唯一表示为 $n=a_0+a_1\cdot 9+a_2\cdot 9^2+\cdots+a_m\cdot 9^m$ ① 的形式，其中 $m$ 为非负整数，$a_j\in\{0,1,\cdots,8\}(j=0,1,\cdots,m-1),a_m\in\{1,\cdots,8\}$．试求 ① 中的数列 $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_m$ 严格单调递增或严格单调递减的所有正整数 $n$ 的和．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛广东省预赛
【标注】
【答案】
$984374748$
【解析】
设 $A$ 和 $B$ 分别表示 ① 中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合．符合 $S(M)$ 表示数集 $M$ 中所有数的和，并将满足 ① 式的正整数记为 $n=\overline{a_ma_{m-1}\cdots a_1a_0}$．把集合 $A$ 分成如下两个不交子集 $A_0=\{n\in A|a_0= 0\}$ 和 $A_1=\{n\in A|a_0\ne 0\}$，我们有 $S(A)=S(A_0)+S(A_1)$．对任意 $n\in A_1$，令 $f(n)=9n\in A_0$，则 $f$ 是 $A_1$ 到 $A_0$ 的双射，由此得 $S(A_0)=9S(A_1)$，从而 $S(A)=10S(A_1)$．又对任意 $a=\overline{a_ma_{m-1}\cdots a_0}\in B$，令 $b=g(a)=\overline{(9-a_m)(9-a_{m-1})\cdots(9-a_0)}\in A_1$，则 $g$ 是 $B$ 到 $A_1$ 的双射，其中 $a+b=9^{m+1}+9^m+\cdots+9=\dfrac{9}{8}(9^{m+1}-1)$．因为 $B=\{\overline{a_ma_{m-1}\cdots a_0}|1\leqslant a_m<a_{m-1}<\cdots<a_0\leqslant 8,m=0,1,\cdots,7\}$，所以 $B$ 中共有 $\displaystyle\sum_{m=0}^7{\rm C}^{m+1}_8$ 个元素，因此 $\displaystyle S\left(B \right)+S\left( {{A}_{1}} \right)=\dfrac{9}{8}\sum\limits_{m=0}^{7}{{\rm C}_{8}^{m+1}\left( {{9}^{m+1}}-1 \right)}=\dfrac{9}{8}\sum\limits_{k=0}^{8}{{\rm C}_{8}^{k}{{9}^{k}}-\dfrac{9}{8}\sum\limits_{k=0}^{8}{{\rm C}_{8}^{k}}}=\dfrac{9}{8}\left( {{10}^{8}}-{{2}^{8}} \right)$．又令 $A_2$ 表示 $A$ 中最高位数 $a_m=8$ 的正整数全体，$A$ 中其余的数和零所构成的集合记为 $A_3$ 令，则 $S(A)=S(A_2)+S(A_3)$．对任意 $a=\overline{a_ma_{m-1}\cdots a_0}\in B$，令 $b=\sigma(a)=\overline{(8-a_m)(8-a_{m-1})\cdots(8-a_0)}\in A_3$ 则 $\sigma$ 是 $B$ 到 $A_3$ 的双射，其中 $a+b=8\cdot 9^m+8\cdot 9^{m-1}+\cdots+8=9^{m+1}-1$．所以 $S(B)+S(A_3)=\displaystyle\sum_{m=0}^7{\rm C}^{m+1}_8(9^{m+1}-1)=\displaystyle\sum_{k=0}^{8}{\rm C}_{8}^{k}({9}^{k}-1)=10^8-2^8$．最后对任意 $a=\overline{8a_m\cdots a_0}\in A_2-\{8\}$，令 $b=\tau(a)=\overline{(8-a_m)\cdots(8-a_0)}\in B$，则 $\tau$ 是 $A_2-\{8\}$ 到 $B$ 的双射，其中 $a+b=8\cdot 9^{m+1}+8\cdot 9^m+\cdots+8=9^{m+2}-1$．所以 $ S\left(B \right)+S\left( {{A}_{2}} \right)=8+\displaystyle\sum_{m=0}^{7}{{\rm C}_{8}^{m+1}}\left({{9}^{m+2}}-1 \right)=8+\displaystyle\sum_{k=1}^{8}{{\rm C}_{8}^{k}\left({{9}^{k+1}}-1 \right)}=9\cdot {{10}^{8}}-{{2}^{8}}$．于是 $\begin{cases}
& S\left( B \right)+\dfrac{1}{10}S\left( A \right)=\dfrac{9}{8}\left({{10}^{8}}-{{2}^{8}} \right) \\
& 2S\left( B \right)+S\left( A\right)={{10}^{9}}-{{2}^{9}} \\
\end{cases}.$ 解之得 $S(A)=\dfrac{31}{32}\times 10^9+80=968750080,S(B)=15624704$，由于 $A$ 和 $B$ 中都含有 $1,2,\cdots,8$，因此所求正整数的和等于 $S(A)+S(B)-36=984374748$．
& S\left( B \right)+\dfrac{1}{10}S\left( A \right)=\dfrac{9}{8}\left({{10}^{8}}-{{2}^{8}} \right) \\
& 2S\left( B \right)+S\left( A\right)={{10}^{9}}-{{2}^{9}} \\
\end{cases}.$ 解之得 $S(A)=\dfrac{31}{32}\times 10^9+80=968750080,S(B)=15624704$，由于 $A$ 和 $B$ 中都含有 $1,2,\cdots,8$，因此所求正整数的和等于 $S(A)+S(B)-36=984374748$．
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解析
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