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设 $(1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$．已知 $a_3^2=2a_2a_4$．
（1）求 $n$ 的值；（2）设 $(1+\sqrt{3})^n=a+b\sqrt{3}$，其中 $a,b\in\mathbb{N}^{\ast}$，求 $a^2-3b^2$ 的值．
【难度】
【出处】
2019年高考江苏卷
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    排列数与组合数
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    计数中的常用知识
    >
    二项式定理
  • 题型
    >
    计数与概率
【答案】
略
【解析】
（1）因为 $(1+x)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+\cdots+C_n^nx^n,n\geqslant 4$，
所以 $a_2=C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2},a_3=C_n^3=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6},a_4=C_n^4=\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$．
因为 $a_3^2=2a_2a_4$，
所以 $\left[\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}\right]^2=2\times \dfrac{n(n-1)}{2}\times\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} $，
解得 $n=5$．
（2）由（1）知，$n=5$．
$(1+\sqrt{3})^n=(1+\sqrt{3})^5$
$=C_5^0+C_5^1\sqrt{3}+C_5^2(\sqrt{3})^2+C_5^3(\sqrt{3})^3+C_5^4(\sqrt{3})^4+C_5^5(\sqrt{3})^5$
$=a+b\sqrt{3}$．
解法一：
因为 $a,b\in\mathbb{N}^{\ast}$，所以 $a=C_5^0+3C_5^2+9C_5^4=76,b=C_5^1+3C_5^3+9C_5^5=44$，
从而 $a^2-3b^2=76^2-3\times 44^2=-32$．
解法二：
$(1-\sqrt{3})^5=C_5^0+C_5^1(-\sqrt{3})+C_5^2(-\sqrt{3})^2+C_5^3(-\sqrt{3})^3+C_5^4(-\sqrt{3})^4+C_5^5(-\sqrt{3})^5$
$=C_5^0-C_5^1\sqrt{3}+C_5^2(\sqrt{3})^2-C_5^3(\sqrt{3})^3+C_5^4(\sqrt{3})^4-C_5^5(\sqrt{3})^5$．
因为 $a,b\in\mathbb{N}^{\ast}$，所以 $(1-\sqrt{3})^5=a-b\sqrt{3}$．
因此 $a^2-3b^2=(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})=(1+\sqrt{3})^5\times (1-\sqrt{3})^5=(-2)^5=-32$．
答案 解析 备注
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