为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分，乙药得 $-1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分，甲药得 $-1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$，一轮试验中甲药的得分记为 $X$．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分，$p_i(i=0,1,\cdots,8)$ 表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0,p_8=1,p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}(i=1,2,\cdots,7)$，其中 $a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)$．假设 $\alpha=0.5,\beta=0.8$．
（i）证明：$\{p_{i+1}-p_i\}(i=0,1,2,\cdots,7)$ 为等比数列；
（ii）求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分，$p_i(i=0,1,\cdots,8)$ 表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0,p_8=1,p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}(i=1,2,\cdots,7)$，其中 $a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)$．假设 $\alpha=0.5,\beta=0.8$．
（i）证明：$\{p_{i+1}-p_i\}(i=0,1,2,\cdots,7)$ 为等比数列；
（ii）求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性．
【难度】
【出处】
2019年高考全国I卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
$X$ 的所有可能取值为 $-1,0,1$．
$P(X=-1)=(1-\alpha)\beta$
$P(X=0)=\alpha\beta+(1-\alpha)(1-\beta)$
$P(X=1)=\alpha(1-\beta)$
所以 $X$ 的分布列为
$\begin{array}{c|ccc}X&-1&0&1\\\hline P&(1-\alpha)\beta&\alpha\beta+(1-\alpha)(1-\beta)&\alpha(1-\beta)\end{array}$
（2）（i）由（1）得 $a=0.4,b=0.5,c=0.1$．
因此 $p_i=0.4p_{i-1}+0.5p_i+0.1p_{i+1}$，故 $0.1(p_{i+1}-p_i)=0.4(p_i-p_{i-1})$，即 $p_{i+1}p_i=4(p_i-p_{i-1})$．
又因为 $p_1-p_0=p_1\ne 0$，所以 $\{p_{i+1}-p_i\}(i=0,1,25,\cdots,7)$ 为公比为 $4$，首项为 $p_1$ 的等比数列．
（ii）由（i）可得
$p_8=p_8-p_7+p_7-p_6+\cdots+p_1-p_0+p_0=(p_8-p_7)+(p_7-p_6)+\cdots+(p_1-p_0)=\dfrac{4^8-1}{3}p_1$．
由于 $p_8=1$，故 $p_1=\dfrac{3}{4^8-1}$，所以
$p_4=(p_4-p_3)+(p-3-p_2)+(p_2-p_1)+(p_1-p_0)=\dfrac{4^4-1}{3}p_1=\dfrac{1}{257}$．
$p_4$ 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 $0.5$，乙药治愈率为 $0.8$ 时，认为甲药更有效的概率为 $p_4=\dfrac{1}{257}\approx 0.0039$，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
$P(X=-1)=(1-\alpha)\beta$
$P(X=0)=\alpha\beta+(1-\alpha)(1-\beta)$
$P(X=1)=\alpha(1-\beta)$
所以 $X$ 的分布列为
$\begin{array}{c|ccc}X&-1&0&1\\\hline P&(1-\alpha)\beta&\alpha\beta+(1-\alpha)(1-\beta)&\alpha(1-\beta)\end{array}$
（2）（i）由（1）得 $a=0.4,b=0.5,c=0.1$．
因此 $p_i=0.4p_{i-1}+0.5p_i+0.1p_{i+1}$，故 $0.1(p_{i+1}-p_i)=0.4(p_i-p_{i-1})$，即 $p_{i+1}p_i=4(p_i-p_{i-1})$．
又因为 $p_1-p_0=p_1\ne 0$，所以 $\{p_{i+1}-p_i\}(i=0,1,25,\cdots,7)$ 为公比为 $4$，首项为 $p_1$ 的等比数列．
（ii）由（i）可得
$p_8=p_8-p_7+p_7-p_6+\cdots+p_1-p_0+p_0=(p_8-p_7)+(p_7-p_6)+\cdots+(p_1-p_0)=\dfrac{4^8-1}{3}p_1$．
由于 $p_8=1$，故 $p_1=\dfrac{3}{4^8-1}$，所以
$p_4=(p_4-p_3)+(p-3-p_2)+(p_2-p_1)+(p_1-p_0)=\dfrac{4^4-1}{3}p_1=\dfrac{1}{257}$．
$p_4$ 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 $0.5$，乙药治愈率为 $0.8$ 时，认为甲药更有效的概率为 $p_4=\dfrac{1}{257}\approx 0.0039$，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
答案
解析
备注
