一生物学家想要计算一个湖中鱼的条数，在5月1日，她随机地捕捉60条鱼，并对它们作了标记后放回湖中．在9月1日，她再随机地捕捉70条鱼，发现其中3条鱼是有标记的．为了计算5月1日这湖中鱼的条数，她假定5月1日湖中鱼的 $25\%$ 到9月1日已不在湖中（由于死亡和迁出），9月1日湖中鱼的 $40\%$ 5月1日并不在湖中（由于出生和迁入），而且9月1日抽样所得的无标记及有标记的鱼数是有代表性的，这位生物学家算出的5月1日湖中鱼数是多少？
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
840
【解析】
设5月1日湖中鱼数为 $m$，9月1日湖中的鱼数为 $n$，则 $\frac{3}{4}m$ 的鱼到9月1日仍在湖中，而 $\left( 1-\frac{2}{5} \right)n$ 的鱼在5月1日就在湖中，即 $\frac{3}{4}m=\left(1-\frac{2}{5} \right)n$，$5m=4n$．
又60条打标记的鱼到9月1日仍有 $60\times \frac{3}{4}=45$ 条在湖中，现由条件，可以认为湖中每70条鱼有3条打标记的鱼，故9月1日的鱼数 $n=70\times \frac{45}{3}=1050$，所以 $m=\frac{4n}{5}=\frac{4\times1050}{5}=840$．
又60条打标记的鱼到9月1日仍有 $60\times \frac{3}{4}=45$ 条在湖中，现由条件，可以认为湖中每70条鱼有3条打标记的鱼，故9月1日的鱼数 $n=70\times \frac{45}{3}=1050$，所以 $m=\frac{4n}{5}=\frac{4\times1050}{5}=840$．
答案
解析
备注
