已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_0=1$，$b_0=0$，且$$\begin{cases} a_{n+1}=7a_n+6b_n-3,\\ b_{n+1}=8a_n+7b_n-4,\end{cases}$$其中 $n=0,1,2,\cdots $．求证：$a_n$ 是完全平方数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[b_n=\dfrac 16\left(a_{n+1}-7a_n+3\right),\]而\[8a_n=b_{n+1}-7b_n+4,\]于是\[8a_n=\dfrac 16\left(a_{n+2}-7a_{n+1}+3\right)-\dfrac 76\left(a_{n+1}-7a_n+3\right)+4,\]整理得\[a_{n+2}=14a_{n+1}-a_n-6,\]作差分可得\[a_{n+2}-a_{n+1}=14a_{n+1}-15a_{n}+a_{n-1},\]即\[a_{n+2}=15a_{n+1}-15a_n+a_{n-1},\]其特征方程为$$x^3=15x^2-15x+1,$$特征根为 $x=1,7+4\sqrt 3,7-4\sqrt 3$，因此可得$$\begin{split}a_n&=\dfrac 14\left[2+(7+4\sqrt 3)^n+(7-4\sqrt 3)^n\right]\\
&=\left[\dfrac{(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n}2\right]^2\\
&=\left(2^n+{\rm C}_n^22^{n-2}+\cdots\right)^2,\end{split} $$因此 $a_n$ 为完全平方数．
&=\left[\dfrac{(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n}2\right]^2\\
&=\left(2^n+{\rm C}_n^22^{n-2}+\cdots\right)^2,\end{split} $$因此 $a_n$ 为完全平方数．
答案
解析
备注
