设甲，乙两位同学上学期间，每天 $7:30$ 之前到校的概率均为 $\dfrac{2}{3}$．假定甲，乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（I）用 $X$ 表示甲同学上学期间的三天中 $7:30$ 之前到校的天数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．
（II）设 $M$ 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 $7:30$ 之前到校的天数比乙同学在 $7:30$ 之前到校的天数恰好多 $2$”，求事件 $M$ 发生的概率．
（I）用 $X$ 表示甲同学上学期间的三天中 $7:30$ 之前到校的天数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．
（II）设 $M$ 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 $7:30$ 之前到校的天数比乙同学在 $7:30$ 之前到校的天数恰好多 $2$”，求事件 $M$ 发生的概率．
【难度】
【出处】
2019年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 $7:30$ 之前到校的概率均为 $\dfrac{2}{3}$，故 $X\sim B\left(3,\dfrac{2}{3}\right)$，从而 $P(X=k)=C_3^k\left(\dfrac{2}{3}\right)^k\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3-k},k=0,1,2,3$，所以，随机变量 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2&3\\\hline P&\dfrac{1}{27}&\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{8}{27}\\\hline\end{array}\]随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=3\times \dfrac{2}{3}=2$．
（II）设乙同学上学期间的三天中 $7:30$ 之前到校的天数为 $Y$，则 $Y\sim B\left(3,\dfrac{2}{3}\right)$，且 $M=\{X=3,Y=1\}\bigcup\{X=2,Y=0\}$．由题意知事件 $\{X=3,Y=1\}$ 与 $\{X=2,Y=0\}$ 互斥，且事件 $\{X=3\}$ 与 $\{Y=1\}$，事件 $\{X=2\}$ 与 $\{Y=0\}$ 均相互独立，从而由（I）知
$P(M)=P(\{X=3,Y=1\}\bigcup\{X=2,Y=0\})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=\dfrac{8}{27}\times\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{9}\times\dfrac{1}{27}=\dfrac{20}{243}$．
（II）设乙同学上学期间的三天中 $7:30$ 之前到校的天数为 $Y$，则 $Y\sim B\left(3,\dfrac{2}{3}\right)$，且 $M=\{X=3,Y=1\}\bigcup\{X=2,Y=0\}$．由题意知事件 $\{X=3,Y=1\}$ 与 $\{X=2,Y=0\}$ 互斥，且事件 $\{X=3\}$ 与 $\{Y=1\}$，事件 $\{X=2\}$ 与 $\{Y=0\}$ 均相互独立，从而由（I）知
$P(M)=P(\{X=3,Y=1\}\bigcup\{X=2,Y=0\})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=\dfrac{8}{27}\times\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{9}\times\dfrac{1}{27}=\dfrac{20}{243}$．
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解析
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