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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点集 $A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\cdots,(n,0)\},B_n=\{(0,1),(n,1)\}$ $C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\cdots,(n,2)\}$，
令 $M_n=A_n\bigcup B_n\bigcup C_n$．从集合 $M_n$ 中任取两个不同的点，用随机变量 $X$ 表示它们之间的距离．
（1）当 $n=1$ 时，求 $X$ 的概率分布；
（2）对给定的正整数 $n(n\geqslant 3)$，求概率 $P(X\leqslant n)$（用 $n$ 表示）．
【难度】
【出处】
2019年高考江苏卷
【标注】
  • 知识点
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    函数
    >
    集合与映射
    >
    集合与集合的关系
  • 知识点
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    函数
    >
    集合与映射
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    集合的运算
  • 知识点
    >
    计数与概率
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    离散型随机变量
    >
    离散型随机变量的分布列
  • 题型
    >
    计数与概率
【答案】
略
【解析】
当 $n=1$ 时，$X$ 的所有可能取值是 $1,\sqrt{2},2,\sqrt{5}$．
$X$ 的概率分布为 $P(X=1)=\dfrac{7}{C_6^2}=\dfrac{7}{15},P(X=\sqrt{2})=\dfrac{4}{C_6^2}=\dfrac{4}{15},P(X=2)=\dfrac{2}{C_6^2}=\dfrac{2}{15}$．
（2）设 $A(a,b)$ 和 $B(c,d)$ 是从 $M_n$ 中取出的两个点．
因为 $P(X\leqslant n)=1-P(X>n)$，所以仅需考虑 $X>n$ 的情况．
① 若 $b=d$，则 $AB\leqslant n$，不存在 $X>n$ 的取法；
② 若 $b=0,d=1$，则 $AB=\sqrt{(a-c)^2+1}\leqslant\sqrt{n^2+1}$，所以 $X>n$ 当且仅当 $AB=\sqrt{n^2+1}$，此时 $a=0,c=n$ 或 $a=n,c=0$，有 $2$ 种取法；
③ 若 $b=0,d=2$，则 $AB=\sqrt{(a-c)^2+4}\leqslant\sqrt{n^2+4}$，因为当 $n\geqslant 3$ 时，$\sqrt{(n-1)^2+4}\leqslant n$，所以 $X>n$ 当且仅当 $AB=\sqrt{n^2+4}$，此时 $a=0,c=n$ 或 $a=n,c=0$，有 $2$ 种取法；
④ 若 $b=1,d=2$，则 $AB=\sqrt{(a-c)^2+1}\leqslant \sqrt{n^2+1}$，所以 $X>n$ 当且仅当 $AB=\sqrt{n^2+1}$，此时 $a=0,c=n$ 或 $a=n,c=0$，有 $2$ 种取法．
综上，当 $X>n$ 时，$X$ 的所有可能取值是 $\sqrt{n^2+1}$ 和 $\sqrt{n^2+4}$，且 $P(X=\sqrt{n^2+1})=\dfrac{4}{C^2_{2n+4}},P(X=\sqrt{n^2+4})=\dfrac{2}{C^2_{2n+4}}$．
因此，$P(X\leqslant n)=1-P(x=\sqrt{n^2+1})-P(X=\sqrt{n^2+4})=1-\dfrac{6}{C^2_{2n+4}}$．
答案 解析 备注
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