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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15131 5cc121f4210b28021fc75b86 高中 解答题 自招竞赛 若椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 上不同的三点 $A(x_1,y_1),B(4,\dfrac{9}{5}),C(x_2,y_2)$ 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段 $AC$ 的中垂线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $T$，求直线 $BT$ 的方程． 2022-04-17 19:52:10
15130 5cc2bf7e210b28021fc75c05 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha+\cos\beta$，试求 $\cos\alpha$ 的最大值． 2022-04-17 19:51:10
15129 5cc2bfe2210b280220ed2619 高中 解答题 自招竞赛 已知方程 $17x^2-16xy+4y^2-34x+16y+13=0$ 在 $xOy$ 平面上表示一椭圆，试求它的对称中心及对称轴． 2022-04-17 19:50:10
15127 5cc667e7210b280220ed266c 高中 解答题 自招竞赛 已知 $O$ 为坐标原点，$N(1,0)$，点 $M$ 为直线 $x=-1$ 上的动点，$\angle MON$ 的平分线与直线 $MN$ 交于点 $P$，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$． 2022-04-17 19:49:10
15015 6007a7a48874860009b91f2c 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，三条直线 $l_1,l_2,l_3$ 两两平行，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的距离为 $p$，直线 $l_2$ 与 $l_3$ 的距离为 $\frac{p}{2}$．$A,B$ 是直线 $l_1$ 上的两个定点，且 $|AB|=2p$．$M,N$ 是直线 $l_2$ 上的两个动点，且 $|MN|=2p$．设 $\triangle AMN$ 的外心为 $C$，点 $C$ 到直线 $l_3$ 的距离为 $d$．试求 $d+|BC|$ 的最小值． 2022-04-17 19:48:09
15013 6007e24f887486000a487960 高中 解答题 自招竞赛 经过点 $M(2,-1)$ 作抛物线 $ y^2=x $ 的四条不同的弦 $ P_iQ_i $（$ i=1,2,3,4 $），且 $ P_1,P_2,P_3,P_4 $ 四点的纵坐标依次成等差数列．证明：$$\frac{P_1M}{MQ_1}-\frac{P_2M}{MQ_2}>\frac{P_3M}{MQ_3}-\frac{P_4M}{MQ_4}.$$ 2022-04-17 19:48:09
15011 6011301425bdad000ac4d239 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，已知 $a>b>0, l_1,l_2$ 是双曲线 $\Gamma_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的两条渐近线，过椭圆 $\Gamma_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点 $F$ 作直线 $m$，使得 $m\perp l_1$，直线 $m$ 与 $l_2$ 的交于点 $P$，与椭圆 $\Gamma_2$ 交于点 $A,B$．求 $\frac{|PB|}{|PA|}$ 的最大值以及此时椭圆 $\Gamma_2$ 的离心率． 2022-04-17 19:46:09
15007 601a42d525bdad0009f73f5d 高中 解答题 自招竞赛 对每个实数 $p\in(0,2)$，设抛物线 $C_p:y^2=2px$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $A$，过定点 $B(-1,0)$ 作一直线 $l$ 与抛物线 $C_p$ 切于点 $K$，过点 $A$ 作 $l$ 的平行线，与抛物线 $C_p$ 交于点 $L,M$．试将 $\triangle KLM$ 的面积表示为 $p$ 的函数 $f(p)$（$0<p<2$），并求 $f(p)$ 的最大值． 2022-04-17 19:44:09
15004 601ba70025bdad0009f73fae 高中 解答题 自招竞赛 设双曲线 $C: x^2-\frac{y^2}{2}=1$．试问：是否存在满足如下条件的直线 $l$？
（a）直线 $l$ 经过双曲线 $C$ 的某个焦点，且与双曲线 $C$ 有两个交点 $A,B$；
（b）$\angle AOB=90^{\circ}$．
若存在，试求出所有这样的直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．		 2022-04-17 19:43:09
14995 603e0b4b25bdad000ac4d746 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\Gamma_k: 4x^2+y^2-8kx-4ky+8k^2-4=0$（$k\in\mathbb{R}$）．问：是否存在这样的直线 $l$，使得对任意实数 $k,l$ 被椭圆 $\Gamma_k$ 截得的线段长都等于 $\frac{\sqrt{5}}{2}$？若存在，试求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由． 2022-04-17 19:37:09
14993 603f655625bdad000ac4d8e0 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，抛物线上有两个动点 $A,B$ 及一个定点 $M$，使得 $AF, MF,BF$ 的长度成等差数列． 2022-04-17 19:37:09
14907 5909748339f91d0008f04fb9 高中 解答题 高考真题 已知圆 $x^2+y^2=4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴，$y$ 轴正半轴围成一个三角形．当该三角形的面积最小时切点为 $P$．双曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 过点 $P$ 且离心率为 $\sqrt 3$． 2022-04-17 19:48:08
14720 6259433fea59ab0009119362 高中 解答题 高中习题 已知曲线 $C:x^2+y^2-2x-4y+m=0$ 表示圆，圆心为 $C$． 2022-04-17 19:06:07
14719 625943f2ea59ab000a73e580 高中 解答题 高中习题 已知圆 $C:(x-2)^2+(y-3)^2=16$ 与直线 $l:(2+k)x+(1-2k)y+9k-12=0$． 2022-04-17 19:05:07
14718 62594432ea59ab000a73e586 高中 解答题 高中习题 已知直线 $l:(2k+1)x+(k+1)y=7k+4(x\in \mathbb{R})$ 和圆 $C:(x-1)2+(y-2)2=25$． 2022-04-17 19:05:07
14717 6259448aea59ab000911936e 高中 解答题 高中习题 问题：平面直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C$ 过点 $A(6, 0)$，且\underline{\qquad\qquad}．
（在以下三个条件中任选一个，补充在横线上．）
① 圆心 $C$ 在直线 $l:2x-7y+8=0$ 上，圆 $C$ 过点 $B(1, 5)$ 是圆上的点；
② 圆 $C$ 过点 $B(1, 5)$ 和 $D(5, -1)$；
③ 圆 $C$ 过直线 $l:3x+5y-8=0$ 和圆 $x^2+y^2+6y-16=0$ 的交点．		 2022-04-17 19:05:07
14716 625945dcea59ab000a73e590 高中 解答题 高中习题 已知圆 $O:x^2+y^2=4, M(4, 2), P$ 是圆 $O$ 上的动点，$Q$ 是线段 $PM$ 的中点． 2022-04-17 19:05:07
14669 5a2e31f2f25ac10009ad736f 高中 填空题 高中习题 设 $M(x_0,y_0)$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）内部一点且 $M$ 位于第一象限，过点 $M$ 作直线交双曲线的右支于点 $A,B$，记 $O$ 为坐标原点，若 $\triangle AOB$ 的面积最小值为 $\sqrt{b^2x_0^2-a^2y_0^2}$，则 $\dfrac{3x_0}a-\dfrac{y_0}b$ 的最小值为 ． 2022-04-16 23:40:00
14590 59db234d34a80e0009f47cb9 高中 填空题 高中习题 方程 $x+y-3\sqrt{x+y}+m=0$ 表示两条直线，则 $m$ 的取值范围为 ． 2022-04-16 22:56:59
14587 59b87b9cc527ed00086d43b2 高中 填空题 高中习题 设点集 $M=\left\{\left(x,y\right)\mid x\cos\theta+y\sin\theta-\sin\theta=1,\theta\in\mathbb R\right\}$，集合 $M$ 在坐标平面 $xOy$ 内形成区域的边界构成曲线 $C$，则 $C$ 的方程为 ． 2022-04-16 22:55:59
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