已知 $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha+\cos\beta$，试求 $\cos\alpha$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【解析】
由题意得 $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha+\cos\beta$，则 $(\cos\alpha-1)\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha=0$．记点 $P(\cos\beta,\sin\beta)$，直线 $l:(\cos\alpha-1)x-\sin\alpha y-\cos\alpha=0$，则点 $P$ 的轨迹方程为单位圆：$x^2+y^2=1$，且 $p\in l$．从而圆心 $O(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\dfrac{|-\cos\alpha|}{\sqrt{(\cos\alpha-1)^2+(-\sin\alpha)^2}}\leqslant 1$．整理得 $\cos^2\alpha+2\cos\alpha-2\leqslant 0$．解得 $-1\leqslant \cos\alpha\leqslant\sqrt{3}-1$，故 $\cos\alpha$ 的最大值为 $\sqrt{3}-1$．
答案
解析
备注
