由于伸缩变换和旋转变换并不影响问题的本质，因此问题可以改写为
新问题设 $M(n,m)$（$m>n>0$）为双曲线 $E:y=\dfrac 1x$ 上方的点，过 $M$ 作直线与双曲线 $E$ 交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点，此时\[a=b=\sqrt 2,\]且 $x_0,y_0$ 分别为点 $M$ 到直线 $x+y=0$ 和 $x-y=0$ 的距离，因此\[x_0=\dfrac{m+n}{\sqrt 2},y_0=\dfrac{m-n}{\sqrt 2},\]从而 $\triangle AOB$ 的面积最小值为 $\sqrt{4mn}$，所求代数式为 $m+2n$．
新问题的解 设 $AB:y=-k(x-n)+m$，其中 $k>0$，与双曲线方程联立，可得\[kx^2-(m+nk)x+1=0,\]记 $\lambda=\dfrac{x_1}{x_2}$，则根据三角形面积坐标公式可得 $\triangle AOB$ 的面积\[S=\dfrac 12\left|\dfrac{x_1}{x_2}-\dfrac{x_2}{x_1}\right|=\dfrac 12\left|\lambda-\dfrac{1}{\lambda}\right|,\]于是\[4S^2+4=\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)^2.\]根据韦达定理有\[(m+nk)^2=\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2\right)k,\]于是\[\lambda+\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{m^2}{k}+n^2k+2mn-2\geqslant 4mn-2,\]于是根据题意，有\[4\cdot \left(\sqrt {4mn}\right)^2+4=(4mn-2)^2,\]解得\[mn=2.\]因此\[m+2n\geqslant 2\sqrt{m\cdot 2n}=4,\]等号当 $(m,n)=(2,1)$ 时取得，因此所求的最小值为 $4$．